Номер 3.8, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.8. Объясните, почему:

а) сумма $45 + 36$ делится на 9;

б) сумма $99 + 88$ делится на 11;

в) сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на 13, где $a$ и $c$ — натуральные числа;

г) сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, где $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа.

а) Это утверждение верно, потому что каждое слагаемое в сумме $45+36$ делится на $9$. Число $45$ делится на $9$, так как $45 = 9 \cdot 5$. Число $36$ делится на $9$, так как $36 = 9 \cdot 4$. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Также можно вынести общий множитель $9$ за скобки: $45 + 36 = 9 \cdot 5 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot (5 + 4)$. Так как сумма представляется в виде произведения, где один из множителей равен $9$, то она делится на $9$.
Ответ: Сумма делится на $9$, так как каждое слагаемое ($45$ и $36$) делится на $9$.

б) Это утверждение верно, потому что каждое слагаемое в сумме $99+88$ делится на $11$. Число $99$ делится на $11$, так как $99 = 11 \cdot 9$. Число $88$ делится на $11$, так как $88 = 11 \cdot 8$. Если каждое слагаемое делится на $11$, то и их сумма делится на $11$. Используя распределительное свойство, можно вынести общий множитель $11$ за скобки: $99 + 88 = 11 \cdot 9 + 11 \cdot 8 = 11 \cdot (9 + 8)$. Поскольку сумма является произведением числа $11$ и целого числа, она делится на $11$.
Ответ: Сумма делится на $11$, так как каждое слагаемое ($99$ и $88$) делится на $11$.

в) Рассмотрим сумму $13 \cdot a + 13 \cdot c$. Первое слагаемое, $13 \cdot a$, делится на $13$, так как является произведением $13$ и натурального числа $a$. Второе слагаемое, $13 \cdot c$, также делится на $13$, так как является произведением $13$ и натурального числа $c$. Поскольку оба слагаемых делятся на $13$, их сумма также делится на $13$. Это можно показать, вынеся общий множитель $13$ за скобки: $13 \cdot a + 13 \cdot c = 13 \cdot (a + c)$. Так как $a$ и $c$ — натуральные числа, их сумма $(a+c)$ также является натуральным числом. Выражение представляет собой произведение числа $13$ и натурального числа $(a+c)$, следовательно, оно делится на $13$.
Ответ: Сумма делится на $13$, так как каждое слагаемое ($13 \cdot a$ и $13 \cdot c$) делится на $13$.

г) Рассмотрим сумму $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$. Проверим каждое слагаемое на делимость на $3$: Слагаемое $12 \cdot a$ делится на $3$, потому что множитель $12$ делится на $3$ ($12 = 3 \cdot 4$). Слагаемое $15 \cdot b$ делится на $3$, потому что множитель $15$ делится на $3$ ($15 = 3 \cdot 5$). Слагаемое $9 \cdot c$ делится на $3$, потому что множитель $9$ делится на $3$ ($9 = 3 \cdot 3$). Так как все три слагаемых делятся на $3$, то и вся сумма делится на $3$. Вынесем общий множитель $3$ за скобки из каждого слагаемого: $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c = (3 \cdot 4) \cdot a + (3 \cdot 5) \cdot b + (3 \cdot 3) \cdot c = 3 \cdot (4a + 5b + 3c)$. Поскольку $a, b, c$ — натуральные числа, то выражение в скобках $(4a + 5b + 3c)$ также является натуральным числом. Следовательно, вся сумма делится на $3$.
Ответ: Сумма делится на $3$, так как каждое слагаемое ($12 \cdot a$, $15 \cdot b$ и $9 \cdot c$) делится на $3$.