Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Напишите три числа, которые можно записать в виде:

а) $2k$;

б) $5k$;

в) $20k$;

г) $7k$,

где $k$ — натуральное число.

а) В задании требуется найти три числа, которые можно представить в виде $2k$, где $k$ — натуральное число. Натуральными числами называются числа, используемые для счета предметов: 1, 2, 3, 4, ... Для нахождения искомых чисел достаточно выбрать три любых натуральных значения для $k$ и вычислить результат. Возьмем, например, $k = 1, k = 2$ и $k = 3$.
Если $k = 1$, то число равно $2 \cdot 1 = 2$.
Если $k = 2$, то число равно $2 \cdot 2 = 4$.
Если $k = 3$, то число равно $2 \cdot 3 = 6$.
Полученные числа (2, 4, 6) являются примерами чисел, которые можно записать в виде $2k$. Это все четные числа.
Ответ: 2, 4, 6.

б) Аналогично, для нахождения трех чисел вида $5k$ выберем три натуральных значения для $k$. Возьмем $k = 1, k = 2$ и $k = 3$.
Если $k = 1$, то число равно $5 \cdot 1 = 5$.
Если $k = 2$, то число равно $5 \cdot 2 = 10$.
Если $k = 3$, то число равно $5 \cdot 3 = 15$.
Числа вида $5k$ являются кратными числу 5.
Ответ: 5, 10, 15.

в) Для нахождения трех чисел вида $20k$ выберем три натуральных значения для $k$. Возьмем $k = 1, k = 2$ и $k = 3$.
Если $k = 1$, то число равно $20 \cdot 1 = 20$.
Если $k = 2$, то число равно $20 \cdot 2 = 40$.
Если $k = 3$, то число равно $20 \cdot 3 = 60$.
Числа вида $20k$ являются кратными числу 20.
Ответ: 20, 40, 60.

г) Для нахождения трех чисел вида $7k$ выберем три натуральных значения для $k$. Возьмем $k = 1, k = 2$ и $k = 3$.
Если $k = 1$, то число равно $7 \cdot 1 = 7$.
Если $k = 2$, то число равно $7 \cdot 2 = 14$.
Если $k = 3$, то число равно $7 \cdot 3 = 21$.
Числа вида $7k$ являются кратными числу 7.
Ответ: 7, 14, 21.

3.7. Верно ли утверждение:

а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;

б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;

в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;

Это утверждение верно. Данное свойство является одним из основных свойств делимости.

Доказательство: Пусть у нас есть два слагаемых, $a$ и $b$. По условию, каждое из них делится на 2. Это означает, что их можно представить в виде: $a = 2 \cdot k$ $b = 2 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Найдем их сумму: $S = a + b = 2 \cdot k + 2 \cdot m$

Используя распределительный закон, вынесем общий множитель 2 за скобки: $S = 2 \cdot (k + m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Следовательно, сумма $S$ представляет собой произведение числа 2 на целое число, что по определению означает, что $S$ делится на 2.

Например, числа 6 и 10 делятся на 2. Их сумма $6 + 10 = 16$. Число 16 также делится на 2.

Ответ: Да, утверждение верно.

б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;

Это утверждение также верно. Логика доказательства полностью аналогична предыдущему пункту, так как это общее свойство делимости, которое работает для любого делителя.

Доказательство: Пусть слагаемые $a$ и $b$ делятся на 5. Это значит, что: $a = 5 \cdot k$ $b = 5 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Их сумма равна: $S = a + b = 5 \cdot k + 5 \cdot m$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S = 5 \cdot (k + m)$

Так как сумма целых чисел $(k + m)$ — это тоже целое число, то сумма $S$ по определению делится на 5.

Например, числа 15 и 20 делятся на 5. Их сумма $15 + 20 = 35$. Число 35 также делится на 5.

Ответ: Да, утверждение верно.

в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

Да, это утверждение верно. Свойство делимости сохраняется не только для сложения, но и для вычитания.

Доказательство: Пусть уменьшаемое — это $a$, а вычитаемое — это $b$. По условию, оба числа делятся на 3. Это можно записать как: $a = 3 \cdot k$ $b = 3 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Найдем их разность: $D = a - b = 3 \cdot k - 3 \cdot m$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $D = 3 \cdot (k - m)$

Разность целых чисел $(k - m)$ также является целым числом. Таким образом, разность $D$ является произведением числа 3 на целое число, а значит, она делится на 3.

Например, уменьшаемое 21 и вычитаемое 9 оба делятся на 3. Их разность $21 - 9 = 12$. Число 12 также делится на 3.

Ответ: Да, утверждение верно.

3.8. Объясните, почему:

а) сумма $45 + 36$ делится на 9;

б) сумма $99 + 88$ делится на 11;

в) сумма $13 \cdot a + 13 \cdot c$ делится на 13, где $a$ и $c$ — натуральные числа;

г) сумма $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$ делится на 3, где $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа.

а) Это утверждение верно, потому что каждое слагаемое в сумме $45+36$ делится на $9$. Число $45$ делится на $9$, так как $45 = 9 \cdot 5$. Число $36$ делится на $9$, так как $36 = 9 \cdot 4$. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Также можно вынести общий множитель $9$ за скобки: $45 + 36 = 9 \cdot 5 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot (5 + 4)$. Так как сумма представляется в виде произведения, где один из множителей равен $9$, то она делится на $9$.
Ответ: Сумма делится на $9$, так как каждое слагаемое ($45$ и $36$) делится на $9$.

б) Это утверждение верно, потому что каждое слагаемое в сумме $99+88$ делится на $11$. Число $99$ делится на $11$, так как $99 = 11 \cdot 9$. Число $88$ делится на $11$, так как $88 = 11 \cdot 8$. Если каждое слагаемое делится на $11$, то и их сумма делится на $11$. Используя распределительное свойство, можно вынести общий множитель $11$ за скобки: $99 + 88 = 11 \cdot 9 + 11 \cdot 8 = 11 \cdot (9 + 8)$. Поскольку сумма является произведением числа $11$ и целого числа, она делится на $11$.
Ответ: Сумма делится на $11$, так как каждое слагаемое ($99$ и $88$) делится на $11$.

в) Рассмотрим сумму $13 \cdot a + 13 \cdot c$. Первое слагаемое, $13 \cdot a$, делится на $13$, так как является произведением $13$ и натурального числа $a$. Второе слагаемое, $13 \cdot c$, также делится на $13$, так как является произведением $13$ и натурального числа $c$. Поскольку оба слагаемых делятся на $13$, их сумма также делится на $13$. Это можно показать, вынеся общий множитель $13$ за скобки: $13 \cdot a + 13 \cdot c = 13 \cdot (a + c)$. Так как $a$ и $c$ — натуральные числа, их сумма $(a+c)$ также является натуральным числом. Выражение представляет собой произведение числа $13$ и натурального числа $(a+c)$, следовательно, оно делится на $13$.
Ответ: Сумма делится на $13$, так как каждое слагаемое ($13 \cdot a$ и $13 \cdot c$) делится на $13$.

г) Рассмотрим сумму $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c$. Проверим каждое слагаемое на делимость на $3$: Слагаемое $12 \cdot a$ делится на $3$, потому что множитель $12$ делится на $3$ ($12 = 3 \cdot 4$). Слагаемое $15 \cdot b$ делится на $3$, потому что множитель $15$ делится на $3$ ($15 = 3 \cdot 5$). Слагаемое $9 \cdot c$ делится на $3$, потому что множитель $9$ делится на $3$ ($9 = 3 \cdot 3$). Так как все три слагаемых делятся на $3$, то и вся сумма делится на $3$. Вынесем общий множитель $3$ за скобки из каждого слагаемого: $12 \cdot a + 15 \cdot b + 9 \cdot c = (3 \cdot 4) \cdot a + (3 \cdot 5) \cdot b + (3 \cdot 3) \cdot c = 3 \cdot (4a + 5b + 3c)$. Поскольку $a, b, c$ — натуральные числа, то выражение в скобках $(4a + 5b + 3c)$ также является натуральным числом. Следовательно, вся сумма делится на $3$.
Ответ: Сумма делится на $3$, так как каждое слагаемое ($12 \cdot a$, $15 \cdot b$ и $9 \cdot c$) делится на $3$.

3.9. Докажите, что если a, b и c — натуральные числа, то:

a) $(3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3 = a + b$;

б) $(c \cdot a + c \cdot b) : c = a + b$.

а) Чтобы доказать равенство $ (3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3 = a + b $, мы преобразуем его левую часть, используя распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство позволяет выносить общий множитель за скобки.

Рассмотрим выражение в скобках $ 3 \cdot a + 3 \cdot b $. Здесь общим множителем для обоих слагаемых является число 3. Вынесем его за скобки:

$ 3 \cdot a + 3 \cdot b = 3 \cdot (a + b) $

Теперь подставим это преобразованное выражение в левую часть исходного равенства:

$ (3 \cdot (a + b)) : 3 $

При делении произведения на число, если один из множителей делится на это число, можно выполнить деление этого множителя, а результат умножить на второй множитель. В нашем случае $ 3 : 3 = 1 $:

$ (3 \cdot (a + b)) : 3 = (3:3) \cdot (a+b) = 1 \cdot (a + b) = a + b $

Таким образом, левая часть равенства тождественно равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: $ (3 \cdot a + 3 \cdot b) : 3 = a + b $.

б) Для доказательства равенства $ (c \cdot a + c \cdot b) : c = a + b $ поступим аналогично предыдущему пункту, применив распределительное свойство умножения.

В выражении $ c \cdot a + c \cdot b $ общим множителем является натуральное число $c$. Вынесем его за скобки:

$ c \cdot a + c \cdot b = c \cdot (a + b) $

Теперь подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:

$ (c \cdot (a + b)) : c $

Поскольку по условию $c$ — натуральное число, то $ c \geq 1 $, а значит, $ c \neq 0 $, и на него можно делить. Выполним деление:

$ (c \cdot (a + b)) : c = (c:c) \cdot (a+b) = 1 \cdot (a + b) = a + b $

Мы показали, что левая часть равенства равна $ a + b $, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: $ (c \cdot a + c \cdot b) : c = a + b $.

3.10. Вычислите:

а) $(48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = ...$

б) $(16 + 20) : 4;$

в) $(50 + 120) : 5;$

г) $(484 + 426) : 2;$

д) $(840 - 488) : 4;$

е) $(963 - 690) : 3;$

ж) $(990 + 99) : 9.$

а) Завершим вычисление, представленное в примере, используя распределительное свойство деления. Сначала разделим каждое слагаемое на 2, а затем сложим полученные результаты: $(48 + 36) : 2 = 48 : 2 + 36 : 2 = 24 + 18 = 42$. Ответ: 42.

б) Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Применим это свойство: $(16 + 20) : 4 = 16 : 4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9$. Ответ: 9.

в) Используем распределительное свойство деления относительно сложения. Разделим каждое слагаемое в скобках на 5, а затем сложим частные: $(50 + 120) : 5 = 50 : 5 + 120 : 5 = 10 + 24 = 34$. Ответ: 34.

г) Применим то же свойство для данного примера. Разделим каждое слагаемое на 2 и сложим полученные результаты: $(484 + 426) : 2 = 484 : 2 + 426 : 2 = 242 + 213 = 455$. Ответ: 455.

д) В данном случае используется распределительное свойство деления относительно вычитания. Чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого результата вычесть второй: $(840 - 488) : 4 = 840 : 4 - 488 : 4 = 210 - 122 = 88$. Ответ: 88.

е) Используем распределительное свойство деления относительно вычитания. Разделим уменьшаемое и вычитаемое на 3, а затем найдем разность полученных частных: $(963 - 690) : 3 = 963 : 3 - 690 : 3 = 321 - 230 = 91$. Ответ: 91.

ж) Снова применим распределительное свойство деления относительно сложения. Разделим каждое слагаемое на 9 и сложим результаты: $(990 + 99) : 9 = 990 : 9 + 99 : 9 = 110 + 11 = 121$. Ответ: 121.

3.11. Проверьте, делится ли:

а) 1356 на 2;

б) 4957 на 2;

в) 8151 на 3;

г) 7361 на 3;

д) 7263 на 2;

е) 9751 на 2.

а) Для проверки делимости числа 1356 на 2 воспользуемся признаком делимости на 2. Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6 или 8). В числе 1356 последняя цифра - 6. Так как 6 - четное число, то и 1356 делится на 2. $1356 \div 2 = 678$. Ответ: да, делится.

б) Проверим, делится ли число 4957 на 2. Согласно признаку делимости на 2, число должно оканчиваться на четную цифру. Последняя цифра в числе 4957 - это 7. Цифра 7 является нечетной, следовательно, число 4957 не делится на 2 без остатка. Ответ: нет, не делится.

в) Чтобы проверить, делится ли число 8151 на 3, применим признак делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 8151: $8 + 1 + 5 + 1 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), поэтому и число 8151 делится на 3. $8151 \div 3 = 2717$. Ответ: да, делится.

г) Проверим делимость числа 7361 на 3. Для этого найдем сумму его цифр: $7 + 3 + 6 + 1 = 17$. Сумма цифр равна 17. Число 17 не делится на 3 без остатка ($17 \div 3 = 5$ и остаток 2). Следовательно, число 7361 не делится на 3. Ответ: нет, не делится.

д) Проверим, делится ли число 7263 на 2. Последняя цифра числа 7263 - это 3. Так как 3 - нечетная цифра, число 7263 не делится на 2 без остатка. Ответ: нет, не делится.

е) Проверим делимость числа 9751 на 2. Последняя цифра в этом числе - 1. Единица является нечетной цифрой. Согласно признаку делимости на 2, число 9751 не делится на 2. Ответ: нет, не делится.

3.12. Проверьте, делится ли число 123 456 789:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 9.

а) на 2;

Для того чтобы число делилось на 2, его последняя цифра должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8). Число 123 456 789 оканчивается на цифру 9. Так как 9 является нечетной цифрой, данное число не делится на 2.

Ответ: нет.

б) на 3;

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Вычислим сумму цифр числа 123 456 789:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$

Теперь проверим, делится ли полученная сумма, 45, на 3. Поскольку $45 \div 3 = 15$, сумма цифр делится на 3 без остатка. Следовательно, и само число 123 456 789 делится на 3.

Ответ: да.

в) на 9.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумму цифр мы уже вычислили в предыдущем пункте, она равна 45.

Проверим, делится ли сумма 45 на 9. Поскольку $45 \div 9 = 5$, сумма цифр делится на 9 без остатка. Следовательно, и число 123 456 789 делится на 9.

Ответ: да.