Страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Сформулируйте свойства делимости.

Делимость — это отношение между двумя целыми числами. Говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$ (не равное нулю), если существует такое целое число $k$, что $a = b \cdot k$. Это записывается как $b|a$ (читается «b делит a»).

Основные свойства делимости:

1. Рефлексивность

Любое целое число $a$, не равное нулю, делится само на себя. Это следует из того, что для любого $a \neq 0$ можно записать $a = a \cdot 1$, где частное $k=1$ является целым числом.

Ответ: Для любого целого $a \neq 0$ верно, что $a|a$.

2. Делимость на единицу

Любое целое число $a$ делится на $1$ и на $-1$. Это следует из того, что для любого $a$ можно записать $a = 1 \cdot a$ и $a = (-1) \cdot (-a)$.

Ответ: Для любого целого $a$ верно, что $1|a$ и $(-1)|a$.

3. Делимость нуля

Нуль делится на любое целое число $a$, не равное нулю. Это следует из того, что $0 = a \cdot 0$, где частное $k=0$ является целым числом. Деление на ноль не определено.

Ответ: Для любого целого $a \neq 0$ верно, что $a|0$.

4. Транзитивность

Если число $a$ делится на $b$, а число $b$ делится на $c$, то число $a$ делится на $c$.
Доказательство: Если $c|b$, то существует целое $k_1$ такое, что $b = c \cdot k_1$. Если $b|a$, то существует целое $k_2$ такое, что $a = b \cdot k_2$. Подставим выражение для $b$ во второе равенство: $a = (c \cdot k_1) \cdot k_2 = c \cdot (k_1 \cdot k_2)$. Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их произведение $k_3 = k_1 \cdot k_2$ также является целым числом. Следовательно, $a = c \cdot k_3$, что по определению означает $c|a$.
Например, $48$ делится на $12$, а $12$ делится на $6$. Следовательно, $48$ делится на $6$.

Ответ: Если $c|b$ и $b|a$, то $c|a$.

5. Свойство линейности

Если некоторое число $c$ делит числа $a$ и $b$, то оно делит и их сумму, и их разность, и в общем виде — любую их линейную комбинацию.
Доказательство: Если $c|a$, то $a = c \cdot k_1$. Если $c|b$, то $b = c \cdot k_2$. Тогда для любых целых $x$ и $y$ имеем: $xa+yb = x(c \cdot k_1) + y(c \cdot k_2) = c \cdot (xk_1 + yk_2)$. Так как $x, y, k_1, k_2$ — целые числа, то выражение в скобках $k_3 = xk_1 + yk_2$ также является целым числом. Следовательно, $c|(xa+yb)$.
Например, $4$ делит $12$ и $4$ делит $20$. Значит, $4$ делит их сумму $12+20=32$ и их разность $20-12=8$.

Ответ: Если $c|a$ и $c|b$, то для любых целых $x$ и $y$ верно, что $c|(xa+yb)$.

6. Свойство делимости произведения

Если число $a$ делится на $b$, то произведение числа $a$ на любое целое число $c$ также делится на $b$.
Доказательство: Если $b|a$, то существует целое $k$ такое, что $a = b \cdot k$. Умножим обе части на $c$: $ac = (b \cdot k) \cdot c = b \cdot (kc)$. Так как $kc$ — целое число, то по определению $b|(ac)$.
Например, $15$ делится на $3$. Значит, $15 \cdot 4 = 60$ тоже делится на $3$.

Ответ: Если $b|a$, то для любого целого $c$ верно, что $b|(ac)$.

7. Антисимметричность (с точностью до знака)

Если число $a$ делится на $b$, и число $b$ делится на $a$, то эти числа либо равны, либо противоположны по знаку.
Доказательство: Если $a|b$ и $b|a$, то $b = a \cdot k_1$ и $a = b \cdot k_2$ для некоторых целых $k_1, k_2$. Подставим второе равенство в первое: $b = (b \cdot k_2) \cdot k_1 = b \cdot (k_1 k_2)$. Если $b \neq 0$, то можно сократить на $b$, получив $1 = k_1 k_2$. Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, это возможно только если $k_1=k_2=1$ или $k_1=k_2=-1$. В первом случае $a=b$, во втором $a=-b$. Если $b=0$, то из $b|a$ следует, что $a=0$. Таким образом, $|a|=|b|$.

Ответ: Если $a|b$ и $b|a$, то $|a|=|b|$.

8. Следствие для суммы

Если в сумме двух чисел одно слагаемое делится на некоторое число $c$, а второе не делится, то и вся сумма не делится на $c$.
Доказательство (от противного): Предположим, что $c|(a+b)$. По условию, $c|a$. Тогда по свойству линейности $c$ должно делить и их разность: $(a+b) - a = b$. То есть, $c|b$. Но это противоречит условию, что $c$ не делит $b$ ($c \nmid b$). Следовательно, наше предположение неверно, и $c \nmid (a+b)$.
Например, $10$ делится на $5$, а $7$ не делится на $5$. Значит, их сумма $10+7=17$ не делится на $5$.

Ответ: Если $c|a$ и $c \nmid b$, то $c \nmid (a+b)$.

3.2. Объясните, почему на 12 делится произведение:

а) $12 \cdot 47$;

б) $12 \cdot 120$;

в) $120 \cdot 51$;

г) $24 \cdot 17$;

д) $11 \cdot 36$;

е) $13 \cdot 48$.

Все указанные произведения делятся на 12, потому что в каждом из них хотя бы один из множителей делится на 12. Это следует из свойства делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

а) В произведении $12 \cdot 47$ первый множитель, число 12, делится на 12. Следовательно, все произведение делится на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 12 делится на 12.

б) В произведении $12 \cdot 120$ оба множителя (12 и 120) делятся на 12. Достаточно того, что первый множитель 12 делится на 12, чтобы все произведение делилось на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 12 делится на 12.

в) В произведении $120 \cdot 51$ первый множитель, число 120, делится на 12, поскольку $120 = 12 \cdot 10$. Так как один из множителей делится на 12, то и все произведение делится на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 120 делится на 12.

г) В произведении $24 \cdot 17$ первый множитель, число 24, делится на 12, поскольку $24 = 2 \cdot 12$. Так как один из множителей делится на 12, то и все произведение делится на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 24 делится на 12.

д) В произведении $11 \cdot 36$ второй множитель, число 36, делится на 12, поскольку $36 = 3 \cdot 12$. Так как один из множителей делится на 12, то и все произведение делится на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 36 делится на 12.

е) В произведении $13 \cdot 48$ второй множитель, число 48, делится на 12, поскольку $48 = 4 \cdot 12$. Так как один из множителей делится на 12, то и все произведение делится на 12. Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 48 делится на 12.

3.3. Запишите числа 24, 42, 36, 72, 75 в виде произведения и покажите, что:

а) 24 делится на 12;

б) 42 делится на 21;

в) 36 делится на 6;

г) 72 делится на 9;

д) 75 делится на 5;

е) 75 делится на 25.

а) Представим число 24 в виде произведения, одним из множителей которого будет 12. Так как $24 \div 12 = 2$, то мы можем записать: $24 = 12 \cdot 2$. Это равенство показывает, что 24 делится на 12, и результатом деления является целое число 2.
Ответ: $24 = 12 \cdot 2$.

б) Представим число 42 в виде произведения, одним из множителей которого будет 21. Так как $42 \div 21 = 2$, то мы можем записать: $42 = 21 \cdot 2$. Это равенство показывает, что 42 делится на 21, и результатом деления является целое число 2.
Ответ: $42 = 21 \cdot 2$.

в) Представим число 36 в виде произведения, одним из множителей которого будет 6. Так как $36 \div 6 = 6$, то мы можем записать: $36 = 6 \cdot 6$. Это равенство показывает, что 36 делится на 6, и результатом деления является целое число 6.
Ответ: $36 = 6 \cdot 6$.

г) Представим число 72 в виде произведения, одним из множителей которого будет 9. Так как $72 \div 9 = 8$, то мы можем записать: $72 = 9 \cdot 8$. Это равенство показывает, что 72 делится на 9, и результатом деления является целое число 8.
Ответ: $72 = 9 \cdot 8$.

д) Представим число 75 в виде произведения, одним из множителей которого будет 5. Так как $75 \div 5 = 15$, то мы можем записать: $75 = 5 \cdot 15$. Это равенство показывает, что 75 делится на 5, и результатом деления является целое число 15.
Ответ: $75 = 5 \cdot 15$.

е) Представим число 75 в виде произведения, одним из множителей которого будет 25. Так как $75 \div 25 = 3$, то мы можем записать: $75 = 25 \cdot 3$. Это равенство показывает, что 75 делится на 25, и результатом деления является целое число 3.
Ответ: $75 = 25 \cdot 3$.

3.4. Покажите, что любое из чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30 можно записать в виде $5 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Чтобы показать, что любое из чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30 можно записать в виде $5 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число, необходимо для каждого из этих чисел найти соответствующее натуральное значение $k$. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3 и так далее.

Для числа 5
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $5 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 5 на 5:
$k = 5 / 5 = 1$.
Число 1 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $5 = 5 \cdot 1$.

Для числа 10
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $10 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 10 на 5:
$k = 10 / 5 = 2$.
Число 2 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $10 = 5 \cdot 2$.

Для числа 15
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $15 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 15 на 5:
$k = 15 / 5 = 3$.
Число 3 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $15 = 5 \cdot 3$.

Для числа 20
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $20 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 20 на 5:
$k = 20 / 5 = 4$.
Число 4 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $20 = 5 \cdot 4$.

Для числа 25
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $25 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 25 на 5:
$k = 25 / 5 = 5$.
Число 5 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $25 = 5 \cdot 5$.

Для числа 30
Требуется найти натуральное число $k$ такое, что $30 = 5 \cdot k$. Для этого разделим 30 на 5:
$k = 30 / 5 = 6$.
Число 6 является натуральным, поэтому представление возможно.
Ответ: $30 = 5 \cdot 6$.

3.5. Напишите 5 чисел, кратных числу:

а) 2;

б) 5;

в) 20;

г) 7;

д) 3;

е) 9;

ж) 4;

з) 11.

Число, кратное данному числу $n$, — это число, которое делится на $n$ без остатка. Чтобы найти такие числа, нужно данное число $n$ умножить на любое натуральное число (например, на 1, 2, 3, 4, 5 и так далее). Мы найдем по 5 кратных для каждого числа, умножая его на 1, 2, 3, 4 и 5.

а) 2;

Находим пять чисел, кратных 2:

$2 \cdot 1 = 2$

$2 \cdot 2 = 4$

$2 \cdot 3 = 6$

$2 \cdot 4 = 8$

$2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10.

б) 5;

Находим пять чисел, кратных 5:

$5 \cdot 1 = 5$

$5 \cdot 2 = 10$

$5 \cdot 3 = 15$

$5 \cdot 4 = 20$

$5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 5, 10, 15, 20, 25.

в) 20;

Находим пять чисел, кратных 20:

$20 \cdot 1 = 20$

$20 \cdot 2 = 40$

$20 \cdot 3 = 60$

$20 \cdot 4 = 80$

$20 \cdot 5 = 100$

Ответ: 20, 40, 60, 80, 100.

г) 7;

Находим пять чисел, кратных 7:

$7 \cdot 1 = 7$

$7 \cdot 2 = 14$

$7 \cdot 3 = 21$

$7 \cdot 4 = 28$

$7 \cdot 5 = 35$

Ответ: 7, 14, 21, 28, 35.

д) 3;

Находим пять чисел, кратных 3:

$3 \cdot 1 = 3$

$3 \cdot 2 = 6$

$3 \cdot 3 = 9$

$3 \cdot 4 = 12$

$3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

е) 9;

Находим пять чисел, кратных 9:

$9 \cdot 1 = 9$

$9 \cdot 2 = 18$

$9 \cdot 3 = 27$

$9 \cdot 4 = 36$

$9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 9, 18, 27, 36, 45.

ж) 4;

Находим пять чисел, кратных 4:

$4 \cdot 1 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$4 \cdot 3 = 12$

$4 \cdot 4 = 16$

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

з) 11.

Находим пять чисел, кратных 11:

$11 \cdot 1 = 11$

$11 \cdot 2 = 22$

$11 \cdot 3 = 33$

$11 \cdot 4 = 44$

$11 \cdot 5 = 55$

Ответ: 11, 22, 33, 44, 55.