Страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.232. а) Что называют многоугольником?

б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?

в) Что называют периметром многоугольника?

г) Какой многоугольник называют выпуклым?

д) Какие многоугольники называют равными?

а) Многоугольником называется геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Эта ломаная линия состоит из конечного числа прямолинейных отрезков (звеньев), которые не пересекают друг друга (за исключением соседних звеньев, которые пересекаются в вершинах). Часть плоскости, находящаяся внутри этой линии, и сама линия образуют многоугольник.

Ответ:

б) Сторонами многоугольника называют отрезки, из которых состоит замкнутая ломаная линия, ограничивающая многоугольник. Вершинами многоугольника называют точки, в которых соединяются две соседние стороны (концы звеньев ломаной). Углами многоугольника называют внутренние углы, образованные двумя соседними сторонами, выходящими из одной вершины.

Ответ:

в) Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Если стороны многоугольника имеют длины $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, то его периметр $P$ можно найти по формуле: $P = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$.

Ответ:

г) Многоугольник называют выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от любой прямой, содержащей одну из его сторон. Это также означает, что все его внутренние углы меньше $180^\circ$, и любой отрезок, соединяющий две точки внутри многоугольника, полностью находится внутри него.

Ответ:

д) Два многоугольника называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом путем наложения так, чтобы они полностью совпали. У равных многоугольников одинаковое количество вершин, а их соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Ответ:

2.233 Постройте пятиугольник $ABCDE$. Назовите все его стороны и вершины.

Для построения пятиугольника $ABCDE$ необходимо отметить на плоскости пять точек, которые будут его вершинами: $A, B, C, D, E$. Важно, чтобы никакие три из этих точек не лежали на одной прямой. Затем следует последовательно соединить эти точки отрезками: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $E$ и $E$ с $A$. Полученная замкнутая фигура является пятиугольником $ABCDE$.

Вершины
Вершины — это точки, в которых соединяются стороны многоугольника. В соответствии с названием $ABCDE$, вершинами данного пятиугольника являются точки: $A, B, C, D, E$.

Стороны
Стороны — это отрезки, которые соединяют соседние вершины. У пятиугольника $ABCDE$ пять сторон: $AB, BC, CD, DE, EA$.

Ответ: Вершины пятиугольника $ABCDE$: $A, B, C, D, E$. Стороны пятиугольника $ABCDE$: $AB, BC, CD, DE, EA$.

2.234. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырёхугольнике $ABCD$ отрезки $AC$ и $BD$ — диагонали (рис. 124). Сколько диагоналей в выпуклом:

а) четырёхугольнике;

б) пятиугольнике;

в) шестиугольнике;

г) семиугольнике?

Рис. 124

Чтобы найти количество диагоналей в выпуклом многоугольнике, можно использовать общую формулу. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две его несоседние вершины.

В многоугольнике с $n$ вершинами из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Таким образом, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

Поскольку всего $n$ вершин, общее число диагоналей, казалось бы, равно $n(n-3)$. Однако при таком подсчёте каждая диагональ (например, из вершины A в вершину C) учитывается дважды (первый раз — как выходящая из A, второй — как выходящая из C). Поэтому результат нужно разделить на 2.

Формула для нахождения числа диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь решим задачу для каждого случая, подставляя соответствующее количество вершин $n$ в формулу.

а) в четырёхугольнике

Для четырёхугольника число вершин $n = 4$.

$D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

В выпуклом четырёхугольнике 2 диагонали.

Ответ: 2

б) в пятиугольнике

Для пятиугольника число вершин $n = 5$.

$D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

В выпуклом пятиугольнике 5 диагоналей.

Ответ: 5

в) в шестиугольнике

Для шестиугольника число вершин $n = 6$.

$D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$

В выпуклом шестиугольнике 9 диагоналей.

Ответ: 9

г) в семиугольнике

Для семиугольника число вершин $n = 7$.

$D = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

В выпуклом семиугольнике 14 диагоналей.

Ответ: 14

2.235 Сколько диагоналей в выпуклом:

а) десятиугольнике;

б) двадцатиугольнике?

Для определения количества диагоналей в выпуклом n-угольнике можно использовать общую формулу. Диагональ соединяет две не смежные вершины. Из каждой из $n$ вершин можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних. То есть, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

Если умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины $(n-3)$, то каждая диагональ будет посчитана дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и из C в A). Поэтому итоговое число нужно разделить на 2.

Формула для нахождения числа диагоналей $N$ в выпуклом n-угольнике:

$N = \frac{n(n-3)}{2}$

а) десятиугольнике

Десятиугольник — это многоугольник с 10 вершинами, следовательно, $n = 10$.

Подставим значение $n=10$ в формулу:

$N = \frac{10 \cdot (10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

б) двадцатиугольнике

Двадцатиугольник — это многоугольник с 20 вершинами, следовательно, $n = 20$.

Подставим значение $n=20$ в формулу:

$N = \frac{20 \cdot (20-3)}{2} = \frac{20 \cdot 17}{2} = 10 \cdot 17 = 170$

Ответ: 170.

2.236. a) Исследуйте зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника ($n$). Результаты занесите в таблицу.

б) Задайте формулой зависимость $d$ от $n$.

а)

Число диагоналей ($d$), выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника с $n$ сторонами, определяется как количество отрезков, которые можно провести из этой вершины к другим вершинам, за исключением двух соседних. Это связано с тем, что отрезки, соединяющие вершину с соседними, являются сторонами многоугольника, а не диагоналями. Также, из вершины нельзя провести диагональ в саму себя. Таким образом, из общего числа вершин $n$ нужно вычесть 3 (саму вершину и две соседние). Зависимость описывается простой разностью: $d = n - 3$.

Используя эту закономерность, заполним таблицу:

• При $n=6$: $d = 6 - 3 = 3$
• При $n=7$: $d = 7 - 3 = 4$
• При $n=8$: $d = 8 - 3 = 5$
• При $n=9$: $d = 9 - 3 = 6$
• При $n=10$: $d = 10 - 3 = 7$
• При $n=11$: $d = 11 - 3 = 8$
• При $n=12$: $d = 12 - 3 = 9$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Заполненная таблица приведена выше. Новые значения: для $n=6, d=3$; для $n=7, d=4$; для $n=8, d=5$; для $n=9, d=6$; для $n=10, d=7$; для $n=11, d=8$; для $n=12, d=9$.

б)

Зависимость числа диагоналей $d$, выходящих из одной вершины, от числа сторон $n$ многоугольника можно вывести из следующих соображений.

У выпуклого многоугольника $n$ сторон и, соответственно, $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Выберем одну произвольную вершину. Из нее можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам.

Два из этих отрезков соединяют выбранную вершину с двумя соседними ей вершинами. По определению, эти отрезки являются сторонами многоугольника, а не диагоналями.

Таким образом, чтобы найти количество диагоналей $d$, выходящих из одной вершины, нужно из общего числа вершин $n$ вычесть 3 (саму вершину, из которой проводятся диагонали, и две соседние с ней).

Формула зависимости имеет вид:

$d = n - 3$

Ответ: $d = n - 3$.

Исследуйте зависимость числа диагоналей ( $d$ ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( $n$ ). Результаты занесите в таблицу.

б) Задайте формулой зависимость $d$ от $n$.

а) Для того чтобы исследовать зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника от числа его сторон ($n$), выведем общую формулу для их нахождения. У выпуклого $n$-угольника имеется $n$ вершин. Диагональ соединяет две любые вершины, которые не являются соседними. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Таким образом, из каждой из $n$ вершин можно провести $n-3$ диагонали. Если мы умножим количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, мы получим $n(n-3)$. Однако при таком подходе каждая диагональ будет посчитана дважды (один раз для каждой из ее вершин). Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей, нужно полученное произведение разделить на 2.
Формула для вычисления числа диагоналей: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Воспользуемся этой формулой, чтобы заполнить таблицу для данных значений $n$. Значения для $n=4$ и $n=5$ уже даны, проверим их и вычислим остальные:

• При $n=4: d = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ (верно)
• При $n=5: d = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ (верно)
• При $n=6: d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$
• При $n=7: d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$
• При $n=8: d = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$
• При $n=9: d = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$
• При $n=10: d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$
• При $n=11: d = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$
• При $n=12: d = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$

Заполненная таблица:

Ответ:

б) Зависимость числа диагоналей $d$ от числа сторон $n$ выпуклого многоугольника задается формулой, которая была выведена в предыдущем пункте. Повторим логику вывода: из каждой из $n$ вершин можно провести $n-3$ диагонали. Чтобы исключить двойной подсчет каждой диагонали, результат $n(n-3)$ делится на 2.
Таким образом, формула зависимости $d$ от $n$ имеет вид:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

Ответ: $d = \frac{n(n-3)}{2}$