Страница 130 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.224. Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью 100 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова длина первого поезда?

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие относительной скорости. Когда пассажир, сидящий во втором поезде, наблюдает за первым поездом, он видит, как тот проезжает мимо него с некоторой относительной скоростью. Так как поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения поездов.

Пусть скорость первого поезда $v_1 = 100$ км/ч, а скорость второго поезда $v_2 = 80$ км/ч. Скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 100 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 180 \text{ км/ч}$

2. Переведем скорость сближения в метры в секунду (м/с).

Время дано в секундах, поэтому для удобства расчетов переведем скорость из км/ч в м/с. Для этого используем соотношение $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$.

$v_{сбл} = 180 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 180 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 180 \times \frac{5}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \times 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 50 \text{ м/с}$

3. Найдем длину первого поезда.

Время, за которое первый поезд прошел мимо пассажира, составляет $t = 12$ с. За это время поезд прошел расстояние, равное своей длине $L_1$, со скоростью сближения $v_{сбл}$. Длину поезда можно найти по формуле расстояния: $L = v \times t$.

$L_1 = v_{сбл} \times t = 50 \text{ м/с} \times 12 \text{ с} = 600 \text{ м}$

Ответ: 600 м.

2.225 Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через тоннель при той же скорости — за 3 мин. Какова длина тоннеля?

Для решения задачи сначала найдем скорость поезда.

Когда поезд проходит мимо километрового столба, он преодолевает расстояние, равное своей собственной длине. Обозначим длину поезда как $L_{поезда}$, а время прохождения мимо столба как $t_1$.
Дано:
$L_{поезда} = 1$ км
$t_1 = 1$ мин

Скорость поезда $v$ можно рассчитать по формуле $v = \frac{S}{t}$. В данном случае $S = L_{поезда}$.
$v = \frac{L_{поезда}}{t_1} = \frac{1 \text{ км}}{1 \text{ мин}} = 1$ км/мин.

Теперь рассмотрим движение поезда через туннель. Чтобы поезд полностью прошел через туннель (от входа головы поезда до выхода хвоста), он должен преодолеть расстояние, равное сумме длины туннеля $L_{туннеля}$ и своей собственной длины $L_{поезда}$.
Общее расстояние $S_{общ} = L_{туннеля} + L_{поезда}$.

Поезд проходит это расстояние за время $t_2 = 3$ мин, двигаясь с той же скоростью $v = 1$ км/мин.
$S_{общ} = v \cdot t_2 = 1 \text{ км/мин} \cdot 3 \text{ мин} = 3$ км.

Теперь мы можем составить уравнение:
$L_{туннеля} + L_{поезда} = S_{общ}$
$L_{туннеля} + 1 \text{ км} = 3 \text{ км}$

Отсюда находим длину туннеля:
$L_{туннеля} = 3 \text{ км} - 1 \text{ км} = 2$ км.

Ответ: 2 км.

2.226. а) Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход со скоростью $5$ км/ч. Одновременно с ним из $A$ в $B$ выехал велосипедист со скоростью $10$ км/ч. Велосипедист доехал до $B$, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между $A$ и $B$ $30$ км?

б) Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми $17$ км, выехал велосипедист со скоростью $12$ км/ч. Одновременно с ним из $A$ в $B$ вышел пешеход со скоростью $5$ км/ч. Велосипедист доехал до $B$, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

в) Расстояние между двумя пунктами $12$ км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями $10$ км/ч и $8$ км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

Пусть $t$ — искомое время в часах. За это время пешеход пройдет расстояние $S_п = 5t$ км. Велосипедист за это же время проедет до пункта B, а затем вернется назад до места встречи.

Общее расстояние, пройденное пешеходом и велосипедистом вместе, равно удвоенному расстоянию между пунктами A и B. Это происходит потому, что велосипедист полностью покрывает расстояние от A до B, а затем они вместе (двигаясь навстречу друг другу) покрывают это же расстояние еще раз.

Следовательно, мы можем составить уравнение, сложив расстояния, которые они преодолели: $S_{пешехода} + S_{велосипедиста} = 2 \cdot S_{AB}$ $5t + 10t = 2 \cdot 30$ $15t = 60$ $t = \frac{60}{15}$ $t = 4$ часа.

Ответ: через 4 часа.

Эта задача аналогична предыдущей. Используем тот же подход. Суммарное расстояние, пройденное пешеходом и велосипедистом к моменту их встречи, равно удвоенному расстоянию между пунктами A и B.

Пусть $t$ — время до встречи. Скорость пешехода $v_п = 5$ км/ч, скорость велосипедиста $v_в = 12$ км/ч, а расстояние $S = 17$ км.

Составим уравнение: $(v_п + v_в) \cdot t = 2S$ $(5 + 12) \cdot t = 2 \cdot 17$ $17t = 34$ $t = \frac{34}{17}$ $t = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа.

Пусть $S = 12$ км — расстояние между пунктами, $v_1 = 10$ км/ч и $v_2 = 8$ км/ч — скорости велосипедистов.

Для первой встречи велосипедистам, движущимся навстречу друг другу, нужно совместно преодолеть расстояние $S$.

После первой встречи они продолжают движение к противоположным пунктам, разворачиваются и снова едут навстречу друг другу. Для того чтобы произошла вторая встреча, им нужно совместно преодолеть расстояние до противоположных пунктов и обратно до точки встречи. Суммарно это составляет удвоенное расстояние между пунктами, то есть $2S$.

Таким образом, к моменту второй встречи общее расстояние, которое они проедут вместе, равно $S + 2S = 3S$.

Их общая скорость сближения (или удаления) равна $v_1 + v_2$. Время до второй встречи $t_2$ можно найти по формуле: $t_2 = \frac{Общее \, расстояние}{Суммарная \, скорость} = \frac{3S}{v_1 + v_2}$

Подставим значения: $t_2 = \frac{3 \cdot 12}{10 + 8} = \frac{36}{18} = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа.