Страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.238. Периметры треугольников BCD, BDE и ABE равны соответственно 20 см, 21 см и 22 см, а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см (рис. 125). Определите длины диагоналей BD и BE, если известно, что они равны.

Рис. 125

Обозначим периметры треугольников $P_{\triangle BCD}$, $P_{\triangle BDE}$, $P_{\triangle ABE}$ и периметр пятиугольника $P_{ABCDE}$.

По условию задачи имеем:
$P_{\triangle BCD} = BC + CD + BD = 20$ см
$P_{\triangle BDE} = BD + DE + BE = 21$ см
$P_{\triangle ABE} = AB + AE + BE = 22$ см
$P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + AE = 31$ см

Сложим периметры трех заданных треугольников:
$P_{\triangle BCD} + P_{\triangle BDE} + P_{\triangle ABE} = (BC + CD + BD) + (BD + DE + BE) + (AB + AE + BE)$

Сгруппируем слагаемые в полученной сумме. Сумма длин сторон $AB, BC, CD, DE, AE$ составляет периметр пятиугольника $P_{ABCDE}$. Диагонали $BD$ и $BE$ входят в сумму по два раза.
$P_{\triangle BCD} + P_{\triangle BDE} + P_{\triangle ABE} = (AB + BC + CD + DE + AE) + 2 \cdot BD + 2 \cdot BE$
Таким образом, мы получаем соотношение:
$P_{\triangle BCD} + P_{\triangle BDE} + P_{\triangle ABE} = P_{ABCDE} + 2(BD + BE)$

Подставим известные значения в это равенство:
$20 + 21 + 22 = 31 + 2(BD + BE)$
$63 = 31 + 2(BD + BE)$

Теперь найдем сумму длин диагоналей:
$2(BD + BE) = 63 - 31$
$2(BD + BE) = 32$
$BD + BE = 16$

По условию задачи диагонали равны: $BD = BE$. Подставив это в последнее равенство, получим:
$BD + BD = 16$
$2 \cdot BD = 16$
$BD = 8$ см

Поскольку $BD = BE$, то $BE$ также равна 8 см.
Ответ: Длины диагоналей $BD$ и $BE$ равны 8 см.

2.239. Считают, что если многоугольники равны, то их площади равны; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников. На рисунке 126 изображён прямоугольник ABCD. Верно ли, что площади треугольников ABD и CDB равны? Чему равна площадь треугольника ABD?

Рис. 126

Верно ли, что площади треугольников ABD и CDB равны?

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$. Фигура $ABCD$ является прямоугольником, поэтому её противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $AD = CB$. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников):

1. $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника)

2. $AD = CB$ (как противоположные стороны прямоугольника)

3. $BD$ — общая сторона

Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle CDB$ следует равенство их площадей. Это соответствует свойству, указанному в условии задачи: если многоугольники равны, то их площади равны. Следовательно, площади треугольников $ABD$ и $CDB$ равны.

Ответ: Да, верно.

Чему равна площадь треугольника ABD?

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то угол $A$ прямой, то есть $\angle A = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Катетами треугольника $ABD$ являются стороны $AB$ и $AD$. Из условия задачи известны их длины: $AB = 3$ см и $AD = 4$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABD$ по формуле:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD$

Подставим известные значения:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Другой способ решения — найти площадь прямоугольника и разделить её пополам. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$. Прямоугольник составлен из двух равных треугольников $ABD$ и $CDB$. По свойству, упомянутому в задаче, его площадь равна сумме их площадей. Так как площади этих треугольников равны, то площадь каждого из них равна половине площади прямоугольника: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

2.240. В прямоугольнике $KLMN$ диагонали $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $O$ (рис. 127). Докажите, что площади треугольников $KLO$ и $NMO$ равны.

Рис. 127

Поскольку $KLMN$ является прямоугольником, его диагонали $KM$ и $LN$ равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Из этого свойства следует, что все четыре отрезка, образованные пересечением диагоналей, равны между собой: $KO = OM = LO = ON$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KLO$ и $\triangle NMO$. Сравним их элементы:
1. Сторона $KO$ в $\triangle KLO$ равна стороне $OM$ в $\triangle NMO$ ($KO = OM$).
2. Сторона $LO$ в $\triangle KLO$ равна стороне $ON$ в $\triangle NMO$ ($LO = ON$).
3. Угол $\angle KOL$ равен углу $\angle NOM$ ($\angle KOL = \angle NOM$), так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, треугольники $\triangle KLO$ и $\triangle NMO$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как площади равных фигур равны, то площадь треугольника $KLO$ равна площади треугольника $NMO$: $S_{\triangle KLO} = S_{\triangle NMO}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей треугольников $KLO$ и $NMO$ доказано.

2.241. На рисунке 128 показано, как с помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник, у которого стороны равны и углы равны. Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы.

Рис. 128

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки, а затем измерить его углы.

Построение правильного шестиугольника

Метод построения основан на свойстве правильного шестиугольника, вписанного в окружность: его сторона равна радиусу этой окружности. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля начертите окружность произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$.
2. Выберите на окружности любую точку и обозначьте ее $A$.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен быть равен радиусу $R$), установите его острие в точку $A$ и проведите дугу, которая пересечет окружность. Точку пересечения обозначьте как $B$.
4. Переместите острие циркуля в точку $B$ и тем же радиусом $R$ проведите еще одну дугу, пересекающую окружность в точке $C$.
5. Повторяйте это действие, последовательно перемещая острие циркуля в новые точки ($C$, $D$, $E$ и $F$), пока не вернетесь в исходную точку $A$. На окружности будет отмечено шесть точек.
6. С помощью линейки последовательно соедините отрезками полученные точки: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $E$, $E$ с $F$ и $F$ с $A$.

Полученная фигура $ABCDEF$ является искомым правильным шестиугольником.

Измерение и вычисление углов

После построения шестиугольника измерьте его внутренние углы с помощью транспортира. Для этого совместите центр транспортира с одной из вершин, а его основание — с одной из сторон. Измерение покажет, что величина угла составляет $120°$. Поскольку в правильном шестиугольнике все углы равны, каждый из шести углов будет равен $120°$.

Правильность измерения можно проверить, вычислив величину внутреннего угла правильного $n$-угольника по формуле:

$$ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} $$

Для шестиугольника количество сторон $n=6$. Подставим это значение в формулу:

$$ \alpha = \frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = \frac{4 \cdot 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120° $$

Таким образом, теоретический расчет подтверждает результат, полученный при измерении.

Ответ: Каждый угол построенного правильного шестиугольника равен $120°$.