Номер 2.239, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.239. Считают, что если многоугольники равны, то их площади равны; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников. На рисунке 126 изображён прямоугольник ABCD. Верно ли, что площади треугольников ABD и CDB равны? Чему равна площадь треугольника ABD?

Рис. 126

Верно ли, что площади треугольников ABD и CDB равны?

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$. Фигура $ABCD$ является прямоугольником, поэтому её противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $AD = CB$. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников):

1. $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника)

2. $AD = CB$ (как противоположные стороны прямоугольника)

3. $BD$ — общая сторона

Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle CDB$ следует равенство их площадей. Это соответствует свойству, указанному в условии задачи: если многоугольники равны, то их площади равны. Следовательно, площади треугольников $ABD$ и $CDB$ равны.

Ответ: Да, верно.

Чему равна площадь треугольника ABD?

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то угол $A$ прямой, то есть $\angle A = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Катетами треугольника $ABD$ являются стороны $AB$ и $AD$. Из условия задачи известны их длины: $AB = 3$ см и $AD = 4$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABD$ по формуле:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD$

Подставим известные значения:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Другой способ решения — найти площадь прямоугольника и разделить её пополам. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$. Прямоугольник составлен из двух равных треугольников $ABD$ и $CDB$. По свойству, упомянутому в задаче, его площадь равна сумме их площадей. Так как площади этих треугольников равны, то площадь каждого из них равна половине площади прямоугольника: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².