Номер 2.236, страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.236. a) Исследуйте зависимость числа диагоналей ($d$) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника ($n$). Результаты занесите в таблицу.

б) Задайте формулой зависимость $d$ от $n$.

а)

Число диагоналей ($d$), выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника с $n$ сторонами, определяется как количество отрезков, которые можно провести из этой вершины к другим вершинам, за исключением двух соседних. Это связано с тем, что отрезки, соединяющие вершину с соседними, являются сторонами многоугольника, а не диагоналями. Также, из вершины нельзя провести диагональ в саму себя. Таким образом, из общего числа вершин $n$ нужно вычесть 3 (саму вершину и две соседние). Зависимость описывается простой разностью: $d = n - 3$.

Используя эту закономерность, заполним таблицу:

• При $n=6$: $d = 6 - 3 = 3$
• При $n=7$: $d = 7 - 3 = 4$
• При $n=8$: $d = 8 - 3 = 5$
• При $n=9$: $d = 9 - 3 = 6$
• При $n=10$: $d = 10 - 3 = 7$
• При $n=11$: $d = 11 - 3 = 8$
• При $n=12$: $d = 12 - 3 = 9$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Заполненная таблица приведена выше. Новые значения: для $n=6, d=3$; для $n=7, d=4$; для $n=8, d=5$; для $n=9, d=6$; для $n=10, d=7$; для $n=11, d=8$; для $n=12, d=9$.

б)

Зависимость числа диагоналей $d$, выходящих из одной вершины, от числа сторон $n$ многоугольника можно вывести из следующих соображений.

У выпуклого многоугольника $n$ сторон и, соответственно, $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Выберем одну произвольную вершину. Из нее можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам.

Два из этих отрезков соединяют выбранную вершину с двумя соседними ей вершинами. По определению, эти отрезки являются сторонами многоугольника, а не диагоналями.

Таким образом, чтобы найти количество диагоналей $d$, выходящих из одной вершины, нужно из общего числа вершин $n$ вычесть 3 (саму вершину, из которой проводятся диагонали, и две соседние с ней).

Формула зависимости имеет вид:

$d = n - 3$

Ответ: $d = n - 3$.