Номер 2.241, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.241. На рисунке 128 показано, как с помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник, у которого стороны равны и углы равны. Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы.

Рис. 128

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки, а затем измерить его углы.

Построение правильного шестиугольника

Метод построения основан на свойстве правильного шестиугольника, вписанного в окружность: его сторона равна радиусу этой окружности. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля начертите окружность произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$.
2. Выберите на окружности любую точку и обозначьте ее $A$.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен быть равен радиусу $R$), установите его острие в точку $A$ и проведите дугу, которая пересечет окружность. Точку пересечения обозначьте как $B$.
4. Переместите острие циркуля в точку $B$ и тем же радиусом $R$ проведите еще одну дугу, пересекающую окружность в точке $C$.
5. Повторяйте это действие, последовательно перемещая острие циркуля в новые точки ($C$, $D$, $E$ и $F$), пока не вернетесь в исходную точку $A$. На окружности будет отмечено шесть точек.
6. С помощью линейки последовательно соедините отрезками полученные точки: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $E$, $E$ с $F$ и $F$ с $A$.

Полученная фигура $ABCDEF$ является искомым правильным шестиугольником.

Измерение и вычисление углов

После построения шестиугольника измерьте его внутренние углы с помощью транспортира. Для этого совместите центр транспортира с одной из вершин, а его основание — с одной из сторон. Измерение покажет, что величина угла составляет $120°$. Поскольку в правильном шестиугольнике все углы равны, каждый из шести углов будет равен $120°$.

Правильность измерения можно проверить, вычислив величину внутреннего угла правильного $n$-угольника по формуле:

$$ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} $$

Для шестиугольника количество сторон $n=6$. Подставим это значение в формулу:

$$ \alpha = \frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = \frac{4 \cdot 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120° $$

Таким образом, теоретический расчет подтверждает результат, полученный при измерении.

Ответ: Каждый угол построенного правильного шестиугольника равен $120°$.