Страница 128 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.211. a) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин.

б) Два поезда вышли с одной станции в противоположных направлениях. Их скорости равны 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами будет 260 км?

а)

Чтобы определить скорость удаления двух автомашин, которые движутся из одного пункта в противоположных направлениях, необходимо сложить их скорости. Эта суммарная скорость и будет являться скоростью их удаления друг от друга.

Обозначим скорость первой автомашины как $v_1$, а второй — как $v_2$.

Дано: $v_1 = 60$ км/ч, $v_2 = 80$ км/ч.

Скорость удаления ($v_{уд}$) находится по формуле:

$v_{уд} = v_1 + v_2$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{уд} = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость удаления автомашин равна 140 км/ч.

б)

Эта задача решается в два действия. Сначала, как и в предыдущем пункте, найдем скорость удаления поездов, сложив их скорости, так как они движутся в противоположных направлениях.

1. Найдем скорость удаления поездов ($v_{уд}$):

$v_{уд} = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между поездами увеличивается на 130 км.

2. Теперь найдем время ($t$), за которое расстояние ($S$) между поездами достигнет 260 км. Для этого нужно разделить расстояние на скорость удаления.

Формула для нахождения времени: $t = \frac{S}{v_{уд}}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{260 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: расстояние между поездами будет 260 км через 2 часа.

2.212. а) Из двух сёл, расстояние между которыми $36 \text{ км}$, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого $4 \text{ км/ч}$, скорость второго $5 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $3 \text{ ч}$? Определите скорость сближения пешеходов.

б) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. Определите скорость сближения автомашин.

а)

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Определить скорость сближения пешеходов. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$).
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.
Таким образом, скорость сближения пешеходов составляет 9 км/ч.

2. Найти расстояние, которое пешеходы пройдут вместе за 3 часа. Для этого нужно умножить скорость сближения на время в пути ($t$).
$S_{пройденное} = v_{сбл} \times t = 9 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 27 \text{ км}$.

3. Вычислить расстояние, которое останется между пешеходами через 3 часа. Для этого из начального расстояния ($S_{начальное}$) вычтем расстояние, которое они прошли вместе.
$S_{остаток} = S_{начальное} - S_{пройденное} = 36 \text{ км} - 27 \text{ км} = 9 \text{ км}$.

Ответ: расстояние между пешеходами через 3 часа будет 9 км; скорость сближения пешеходов — 9 км/ч.

б)

Скорость сближения автомашин, которые движутся навстречу друг другу, определяется как сумма их скоростей ($v_1$ и $v_2$).
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

Ответ: 140 км/ч.

2.213. а) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, а второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

б) Старинная задача. Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст, а другой человек идёт навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся?

а)

Для решения этой задачи нужно определить, с какой скоростью велосипедисты приближаются друг к другу. Эта величина называется скоростью сближения. Так как они движутся навстречу, их скорости складываются.

1. Найдём скорость сближения велосипедистов ($v_{сбл}$), которая равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$):
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная общее расстояние ($S$) и скорость сближения, можно найти время до встречи ($t$), разделив расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{36 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$

Ответ: они встретятся через 2 часа.

б)

Эта задача решается по тому же принципу, что и предыдущая. Необходимо найти общую скорость, с которой путники преодолевают расстояние между ними, и затем рассчитать время.

1. Найдём скорость сближения путников, сложив их скорости, с которыми они идут навстречу друг другу:
$v_{сбл} = 40 \text{ вёрст/день} + 30 \text{ вёрст/день} = 70 \text{ вёрст/день}$

2. Чтобы узнать, через сколько дней путники встретятся, разделим общее расстояние ($S$) на их скорость сближения ($v_{сбл}$):
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{700 \text{ вёрст}}{70 \text{ вёрст/день}} = 10 \text{ дней}$

Ответ: путники встретятся через 10 дней.

2.214. а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи; через 1 ч после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

а)

Для решения этой задачи нужно найти скорость сближения и скорость удаления поездов. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.
1. Скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.
Это означает, что за один час расстояние между поездами сокращается на 140 км. Следовательно, за 1 час до их встречи расстояние между ними было ровно 140 км.
$S_{до} = v_{сбл} \cdot t = 140 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

2. После встречи поезда продолжают движение, удаляясь друг от друга. Скорость их удаления также равна сумме их скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 140 \text{ км/ч}$.
Это означает, что через 1 час после встречи расстояние между ними станет равным 140 км.
$S_{после} = v_{уд} \cdot t = 140 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

3. Чтобы ответить на поставленные вопросы, нам потребовались только скорости поездов. Общее расстояние между городами (900 км) не было использовано для нахождения расстояния между поездами за час до и через час после встречи. Таким образом, это условие является лишним.

Ответ: за 1 час до встречи и через 1 час после встречи расстояние между поездами составляло 140 км. Да, в задаче есть лишнее условие — расстояние между городами 900 км.

б)

В момент встречи пешеход и велосипедист находятся в одной и той же точке. По определению "встречи", их местоположение совпадает. Следовательно, их расстояние до любой другой точки, в том числе и до села, в этот момент будет одинаковым.

Можно доказать это и с помощью вычислений.
Пусть $t$ — время в пути велосипедиста (в часах). Пешеход вышел на 1 час раньше, значит, он был в пути $(t+1)$ час.
Составим уравнение, приняв за точку отсчета село. Расстояние, пройденное пешеходом от села, равно $5 \cdot (t+1)$. Расстояние, пройденное велосипедистом от города, равно $15 \cdot t$. Место встречи велосипедиста относительно села будет $45 - 15 \cdot t$.
В момент встречи их координаты равны:
$5 \cdot (t+1) = 45 - 15 \cdot t$
$5t + 5 = 45 - 15t$
$20t = 40$
$t = 2$ (часа ехал велосипедист).
Теперь найдем расстояние от села до места встречи. Оно равно пути, который прошел пешеход за $(2+1)=3$ часа:
$S_{от\_села} = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$.
В этот момент и пешеход, и велосипедист находятся на расстоянии 15 км от села.

Ответ: в момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.

2.215. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов велосипедисты будут друг от друга на расстоянии 27 км, если их скорости $12 \text{ км/ч}$ и $15 \text{ км/ч}$?

Для решения этой задачи сначала найдём общую скорость, с которой велосипедисты сближаются (а после встречи — удаляются) друг от друга. Так как они едут навстречу, их скорости складываются.

Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$.

Существует два момента времени, когда расстояние между велосипедистами будет 27 км: до их встречи и после их встречи.

Случай 1: Велосипедисты находятся на расстоянии 27 км до встречи.

Изначально между ними было 54 км. Чтобы расстояние сократилось до 27 км, они вместе должны проехать разницу этих расстояний:

$S_1 = 54 \text{ км} - 27 \text{ км} = 27 \text{ км}$.

Теперь найдём время, за которое они вместе проедут 27 км, двигаясь со скоростью сближения 27 км/ч:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{сбл}} = \frac{27 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 1$ час.

Ответ: через 1 час.

Случай 2: Велосипедисты встретились, проехали друг мимо друга и оказались на расстоянии 27 км.

В этом случае общее расстояние, которое они проехали вместе от начальных точек, складывается из первоначального расстояния между сёлами (которое они преодолели до встречи) и расстояния, на которое они удалились друг от друга после встречи:

$S_2 = 54 \text{ км} + 27 \text{ км} = 81 \text{ км}$.

Теперь найдём время, за которое они вместе проедут 81 км, двигаясь с общей скоростью 27 км/ч:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{81 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Ответ: через 3 часа.

2.216. а) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?

б) Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, а второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

а)

В этой задаче объекты движутся из одной точки в одном направлении. Чтобы найти скорость их удаления, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
Скорость мотоциклиста $v_м = 40$ км/ч.
Скорость велосипедиста $v_в = 12$ км/ч.
Скорость удаления $v_{уд}$ вычисляется по формуле:
$v_{уд} = v_м - v_в = 40 - 12 = 28$ км/ч.

Теперь найдем, через какое время расстояние между ними составит 56 км. Для этого нужно расстояние разделить на скорость удаления.
$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{56}{28} = 2$ часа.

Ответ: скорость их удаления друг от друга равна 28 км/ч; расстояние между ними будет 56 км через 2 часа.

б)

В этой задаче один объект догоняет другой. Они движутся в одном направлении, но между ними есть начальное расстояние. Скорость, с которой второй мотоциклист догоняет первого, называется скоростью сближения. Она равна разности их скоростей.
Начальное расстояние $S_0 = 30$ км.
Скорость первого мотоциклиста $v_1 = 40$ км/ч.
Скорость второго мотоциклиста $v_2 = 50$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 50 - 40 = 10$ км/ч.

Чтобы найти время, через которое второй мотоциклист догонит первого, нужно начальное расстояние между ними разделить на скорость сближения.
$t = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{30}{10} = 3$ часа.

Ответ: второй мотоциклист догонит первого через 3 часа.