Номер 2.214, страница 128 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.214. а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи; через 1 ч после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

а)

Для решения этой задачи нужно найти скорость сближения и скорость удаления поездов. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.
1. Скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.
Это означает, что за один час расстояние между поездами сокращается на 140 км. Следовательно, за 1 час до их встречи расстояние между ними было ровно 140 км.
$S_{до} = v_{сбл} \cdot t = 140 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

2. После встречи поезда продолжают движение, удаляясь друг от друга. Скорость их удаления также равна сумме их скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 140 \text{ км/ч}$.
Это означает, что через 1 час после встречи расстояние между ними станет равным 140 км.
$S_{после} = v_{уд} \cdot t = 140 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

3. Чтобы ответить на поставленные вопросы, нам потребовались только скорости поездов. Общее расстояние между городами (900 км) не было использовано для нахождения расстояния между поездами за час до и через час после встречи. Таким образом, это условие является лишним.

Ответ: за 1 час до встречи и через 1 час после встречи расстояние между поездами составляло 140 км. Да, в задаче есть лишнее условие — расстояние между городами 900 км.

б)

В момент встречи пешеход и велосипедист находятся в одной и той же точке. По определению "встречи", их местоположение совпадает. Следовательно, их расстояние до любой другой точки, в том числе и до села, в этот момент будет одинаковым.

Можно доказать это и с помощью вычислений.
Пусть $t$ — время в пути велосипедиста (в часах). Пешеход вышел на 1 час раньше, значит, он был в пути $(t+1)$ час.
Составим уравнение, приняв за точку отсчета село. Расстояние, пройденное пешеходом от села, равно $5 \cdot (t+1)$. Расстояние, пройденное велосипедистом от города, равно $15 \cdot t$. Место встречи велосипедиста относительно села будет $45 - 15 \cdot t$.
В момент встречи их координаты равны:
$5 \cdot (t+1) = 45 - 15 \cdot t$
$5t + 5 = 45 - 15t$
$20t = 40$
$t = 2$ (часа ехал велосипедист).
Теперь найдем расстояние от села до места встречи. Оно равно пути, который прошел пешеход за $(2+1)=3$ часа:
$S_{от\_села} = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$.
В этот момент и пешеход, и велосипедист находятся на расстоянии 15 км от села.

Ответ: в момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.