Номер 2.217, страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.217. Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Арифметический (через скорость сближения)

1. Первым действием найдем, какое расстояние успел пройти первый юноша за один день, пока второй еще не начал свой путь. Это расстояние будет начальным преимуществом (форой) первого юноши.

$S_{фора} = 40 \text{ вёрст/день} \times 1 \text{ день} = 40 \text{ вёрст}$

2. Второй юноша движется быстрее первого, следовательно, он будет его догонять. Скорость, с которой второй юноша догоняет первого (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = 45 \text{ вёрст/день} - 40 \text{ вёрст/день} = 5 \text{ вёрст/день}$

Это означает, что каждый день второй юноша сокращает расстояние до первого на 5 вёрст.

3. Теперь, зная начальное расстояние и скорость сближения, мы можем найти время, за которое второй юноша догонит первого. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{40 \text{ вёрст}}{5 \text{ вёрст/день}} = 8 \text{ дней}$

Способ 2: Алгебраический (через составление уравнения)

Пусть $t$ — это количество дней, которое потребуется второму юноше, чтобы догнать первого. Поскольку первый юноша вышел на день раньше, к моменту встречи он будет в пути $(t + 1)$ дней.

К моменту, когда второй юноша догонит первого, они оба пройдут одинаковое расстояние от Москвы. Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$). Приравняем расстояния, пройденные обоими юношами:

$\text{Путь первого юноши} = \text{Путь второго юноши}$

$40 \times (t + 1) = 45 \times t$

Теперь решим полученное уравнение:

$40t + 40 = 45t$

$45t - 40t = 40$

$5t = 40$

$t = \frac{40}{5}$

$t = 8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 8 дней.