Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.181. Какие единицы массы вы знаете?

Существует множество единиц измерения массы, которые используются в различных системах и для разных целей. Основной единицей массы в Международной системе единиц (СИ) является килограмм (кг).

Наиболее распространенные единицы массы в метрической системе, расположенные в порядке убывания:

• Тонна (т): используется для измерения очень больших масс, например, массы транспортных средств или больших объемов груза. Соотношение: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
• Центнер (ц): часто применяется в сельском хозяйстве для измерения урожая. Соотношение: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
• Килограмм (кг): основная единица массы, широко используемая в повседневной жизни для измерения массы продуктов, веса человека и т.д.
• Грамм (г): производная единица, используемая для измерения небольших масс, например, в кулинарии. Соотношение: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
• Миллиграмм (мг): используется для измерения очень малых масс, например, дозировки лекарств в медицине или реагентов в химии. Соотношение: $1 \text{ г} = 1000 \text{ мг}$.

Помимо метрических, существуют и другие единицы массы из различных систем:

• Карат: внесистемная единица массы, используемая в ювелирном деле для измерения массы драгоценных камней и жемчуга. $1 \text{ карат} = 200 \text{ мг} = 0.2 \text{ г}$.
• Старорусские единицы массы: например, пуд (около $16.38$ кг) и фунт (около $409.5$ г), которые сейчас являются историческими.
• Единицы британской имперской и американской систем: фунт (pound, lb), который равен приблизительно $453.6$ г, и унция (ounce, oz), равная примерно $28.35$ г.

Ответ: Наиболее известные единицы массы — это тонна, центнер, килограмм, грамм, миллиграмм. Также существуют и другие, такие как карат, пуд, фунт, унция.

2.182. Как определяется 1 г, 1 кг, 1 т?

1 г

Грамм (г) — это единица массы, являющаяся дольной по отношению к основной единице массы в Международной системе единиц (СИ) — килограмму. Один грамм определяется как одна тысячная доля килограмма. Математически это выражается формулой: $1 \text{ г} = \frac{1}{1000} \text{ кг} = 10^{-3} \text{ кг}$. Таким образом, современное определение грамма напрямую зависит от определения килограмма. Исторически (в системе СГС) грамм определялся как масса 1 кубического сантиметра ($1 \text{ см}^3$) чистой воды при температуре её наибольшей плотности (около $+4^\circ \text{C}$).

Ответ: 1 г определяется как одна тысячная доля килограмма ($1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$).

1 кг

Килограмм (кг) — основная единица массы в Международной системе единиц (СИ). С 20 мая 2019 года килограмм определяется на основе фундаментальной физической константы — постоянной Планка $h$. Его значение было зафиксировано как ровно $h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$. Единица $\text{Дж} \cdot \text{с}$ эквивалентна $\text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-1}$, где метр и секунда определены через другие фундаментальные константы (скорость света и частоту перехода в атоме цезия-133). Таким образом, масса в 1 кг является такой, при которой постоянная Планка имеет указанное значение. Ранее, с 1889 по 2019 год, килограмм был равен массе международного прототипа килограмма — цилиндра из платино-иридиевого сплава.

Ответ: 1 кг — это единица массы, значение которой устанавливается через фиксацию численного значения постоянной Планка $h$ равным $6.62607015 \times 10^{-34} \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-1}$.

1 т

Тонна (т) — это метрическая единица измерения массы. Она не является единицей СИ, но её использование допускается совместно с единицами СИ. Одна тонна определяется как тысяча килограммов. Это кратная единица по отношению к килограмму. Соотношение между тонной и килограммом: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$. Также тонну можно выразить в граммах: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} = 1 000 \times 1000 \text{ г} = 1 000 000 \text{ г}$.

Ответ: 1 т определяется как одна тысяча килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

2.183. а) Какой объём при $4 \text{ °C}$ занимает $1 \text{ г}$, $1 \text{ кг}$, $1 \text{ т}$ воды?

б) Какой объём при $4 \text{ °C}$ занимает $3 \text{ г}$, $7 \text{ кг}$, $79 \text{ т}$ воды?

Для решения задачи используется формула, связывающая массу ($m$), объем ($V$) и плотность ($\rho$):

$V = \frac{m}{\rho}$

При температуре 4°C вода имеет максимальную плотность. Это значение часто используется как эталонное. Для расчетов будем использовать следующие значения плотности воды:

• $\rho = 1 \text{ г/см}^3$
• $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$, что эквивалентно $1 \text{ кг/дм}^3$ или $1 \text{ кг/л}$
• $\rho = 1 \text{ т/м}^3$

Важно помнить соотношения единиц объёма: $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ л}$.

Рассчитаем объём для каждой указанной массы воды.

• Для массы $m = 1 \text{ г}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ г/см}^3$.

  $V = \frac{1 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 1 \text{ см}^3$.

  Ответ: 1 г воды занимает объём 1 см³.

• Для массы $m = 1 \text{ кг}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ кг/дм}^3$.

  $V = \frac{1 \text{ кг}}{1 \text{ кг/дм}^3} = 1 \text{ дм}^3$.

  Поскольку $1 \text{ дм}^3 = 1 \text{ л}$, объём также равен 1 литру.

  Ответ: 1 кг воды занимает объём 1 дм³ (или 1 л).

• Для массы $m = 1 \text{ т}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ т/м}^3$.

  $V = \frac{1 \text{ т}}{1 \text{ т/м}^3} = 1 \text{ м}^3$.

  Ответ: 1 т воды занимает объём 1 м³.

Аналогично рассчитаем объём для следующих масс воды.

• Для массы $m = 3 \text{ г}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ г/см}^3$.

  $V = \frac{3 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 3 \text{ см}^3$.

  Ответ: 3 г воды занимает объём 3 см³.

• Для массы $m = 7 \text{ кг}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ кг/дм}^3$.

  $V = \frac{7 \text{ кг}}{1 \text{ кг/дм}^3} = 7 \text{ дм}^3$.

  Объём также равен 7 литрам.

  Ответ: 7 кг воды занимает объём 7 дм³ (или 7 л).

• Для массы $m = 79 \text{ т}$:

  Используем плотность $\rho = 1 \text{ т/м}^3$.

  $V = \frac{79 \text{ т}}{1 \text{ т/м}^3} = 79 \text{ м}^3$.

  Ответ: 79 т воды занимает объём 79 м³.

2.184 Выразите данную массу в килограммах:

а) $1 \text{ ц}$;

б) $12 \text{ ц}$;

в) $1 \text{ т}$;

г) $25 \text{ т}$;

д) $37 \text{ ц}$;

е) $12 \text{ т } 24 \text{ ц}$.

а) 1 ц; Для перевода центнеров (ц) в килограммы (кг) используется соотношение: 1 центнер равен 100 килограммам. Таким образом, $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. Ответ: 100 кг.

б) 12 ц; Чтобы перевести 12 центнеров в килограммы, необходимо умножить это значение на 100, так как $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. $12 \text{ ц} = 12 \times 100 \text{ кг} = 1200 \text{ кг}$. Ответ: 1200 кг.

в) 1 т; Для перевода тонн (т) в килограммы (кг) используется соотношение: 1 тонна равна 1000 килограммов. Следовательно, $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$. Ответ: 1000 кг.

г) 25 т; Чтобы перевести 25 тонн в килограммы, нужно умножить это значение на 1000, так как $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$. $25 \text{ т} = 25 \times 1000 \text{ кг} = 25000 \text{ кг}$. Ответ: 25000 кг.

д) 37 ц; Используя соотношение $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, умножаем количество центнеров на 100. $37 \text{ ц} = 37 \times 100 \text{ кг} = 3700 \text{ кг}$. Ответ: 3700 кг.

е) 12 т 24 ц; Чтобы выразить данную массу в килограммах, необходимо перевести тонны и центнеры в килограммы по отдельности, а затем сложить полученные значения. Используем соотношения $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$ и $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Сначала переводим тонны в килограммы: $12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$.
Затем переводим центнеры в килограммы: $24 \text{ ц} = 24 \times 100 \text{ кг} = 2400 \text{ кг}$.
Наконец, складываем результаты: $12000 \text{ кг} + 2400 \text{ кг} = 14400 \text{ кг}$. Ответ: 14400 кг.

2.185. Выразите данную массу в граммах:

а) $1 \text{ кг}$;

б) $87 \text{ кг}$;

в) $1 \text{ ц}$;

г) $24 \text{ ц}$;

д) $1 \text{ т}$;

е) $13 \text{ т}$;

ж) $35 \text{ т } 7 \text{ ц}$;

з) $37 \text{ ц } 15 \text{ кг}$;

и) $35 \text{ т } 36 \text{ ц } 12 \text{ кг}$.

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц массы:

• 1 килограмм (кг) равен 1000 граммам (г).
• 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг).
• 1 тонна (т) равна 1000 килограммам (кг).

Из этого следует:

• 1 центнер (ц) = $100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100\,000 \text{ г}$.
• 1 тонна (т) = $1000 \text{ кг} = 1000 \times 1000 \text{ г} = 1\,000\,000 \text{ г}$.

а) Чтобы выразить 1 килограмм в граммах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Ответ: $1000 \text{ г}$.

б) Чтобы выразить 87 килограммов в граммах, умножим это значение на 1000.

$87 \text{ кг} = 87 \times 1000 \text{ г} = 87\,000 \text{ г}$.

Ответ: $87\,000 \text{ г}$.

в) Сначала переведем центнеры в килограммы, а затем килограммы в граммы.

$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

$100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100\,000 \text{ г}$.

Ответ: $100\,000 \text{ г}$.

г) Переведем 24 центнера в килограммы, а затем в граммы.

$24 \text{ ц} = 24 \times 100 \text{ кг} = 2400 \text{ кг}$.

$2400 \text{ кг} = 2400 \times 1000 \text{ г} = 2\,400\,000 \text{ г}$.

Ответ: $2\,400\,000 \text{ г}$.

д) Переведем тонны в килограммы, а затем килограммы в граммы.

$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

$1000 \text{ кг} = 1000 \times 1000 \text{ г} = 1\,000\,000 \text{ г}$.

Ответ: $1\,000\,000 \text{ г}$.

е) Переведем 13 тонн в килограммы, а затем в граммы.

$13 \text{ т} = 13 \times 1000 \text{ кг} = 13\,000 \text{ кг}$.

$13\,000 \text{ кг} = 13\,000 \times 1000 \text{ г} = 13\,000\,000 \text{ г}$.

Ответ: $13\,000\,000 \text{ г}$.

ж) Сначала переведем все единицы в килограммы, а затем полученное значение — в граммы.

$35 \text{ т} = 35 \times 1000 \text{ кг} = 35\,000 \text{ кг}$.

$7 \text{ ц} = 7 \times 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.

Сложим полученные значения: $35\,000 \text{ кг} + 700 \text{ кг} = 35\,700 \text{ кг}$.

Теперь переведем килограммы в граммы: $35\,700 \text{ кг} = 35\,700 \times 1000 \text{ г} = 35\,700\,000 \text{ г}$.

Ответ: $35\,700\,000 \text{ г}$.

з) Переведем центнеры в килограммы, сложим с имеющимися килограммами, а затем переведем итоговую сумму в граммы.

$37 \text{ ц} = 37 \times 100 \text{ кг} = 3700 \text{ кг}$.

Суммарная масса в килограммах: $3700 \text{ кг} + 15 \text{ кг} = 3715 \text{ кг}$.

Переведем в граммы: $3715 \text{ кг} = 3715 \times 1000 \text{ г} = 3\,715\,000 \text{ г}$.

Ответ: $3\,715\,000 \text{ г}$.

и) Переведем все единицы в килограммы, сложим их, а затем переведем результат в граммы.

$35 \text{ т} = 35 \times 1000 \text{ кг} = 35\,000 \text{ кг}$.

$36 \text{ ц} = 36 \times 100 \text{ кг} = 3600 \text{ кг}$.

Суммарная масса в килограммах: $35\,000 \text{ кг} + 3600 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 38\,612 \text{ кг}$.

Теперь переведем килограммы в граммы: $38\,612 \text{ кг} = 38\,612 \times 1000 \text{ г} = 38\,612\,000 \text{ г}$.

Ответ: $38\,612\,000 \text{ г}$.

2.186. Выполните действия:

а) $37 \text{ г} + 4 \text{ г};$

б) $9 \text{ кг } 326 \text{ г} + 2 \text{ кг } + 457 \text{ г};$

в) $23 \text{ кг } - 2 \text{ кг } 754 \text{ г};$

г) $43 \text{ кг } 271 \text{ г} - 5 \text{ кг } 39 \text{ г}.$

а) Чтобы найти сумму, нужно сложить граммы с граммами.

$37 \text{ г} + 4 \text{ г} = 41 \text{ г}$

Ответ: 41 г.

б) Для выполнения сложения необходимо отдельно сложить килограммы и отдельно граммы.

Складываем килограммы: $9 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 11 \text{ кг}$.

Складываем граммы: $326 \text{ г} + 457 \text{ г} = 783 \text{ г}$.

Объединяем полученные результаты: 11 кг 783 г.

Ответ: 11 кг 783 г.

в) Чтобы выполнить вычитание, представим 23 кг в виде килограммов и граммов, так как из 0 граммов нельзя вычесть 754 грамма. Для этого "займем" 1 кг из 23 кг и переведем его в граммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

$23 \text{ кг} = 22 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 22 \text{ кг} \, 1000 \text{ г}$.

Теперь выполним вычитание: $22 \text{ кг} \, 1000 \text{ г} - 2 \text{ кг} \, 754 \text{ г}$.

Вычитаем килограммы: $22 \text{ кг} - 2 \text{ кг} = 20 \text{ кг}$.

Вычитаем граммы: $1000 \text{ г} - 754 \text{ г} = 246 \text{ г}$.

Объединяем результаты: 20 кг 246 г.

Ответ: 20 кг 246 г.

г) Для выполнения вычитания необходимо отдельно вычесть килограммы из килограммов и граммы из граммов.

Вычитаем килограммы: $43 \text{ кг} - 5 \text{ кг} = 38 \text{ кг}$.

Вычитаем граммы: $271 \text{ г} - 39 \text{ г} = 232 \text{ г}$.

Объединяем полученные результаты: 38 кг 232 г.

Ответ: 38 кг 232 г.

2.187. Данные величины запишите с точностью до 1 кг:

a) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

6 кг 721 г $\approx$ 6 кг с недостатком;

6 кг 721 г $\approx$ 7 кг с избытком и с округлением.

1) 5 кг 768 г;

2) 9 кг 326 г;

3) 4 ц 36 кг 125 г;

4) 5 т 7 ц.

Для решения задачи необходимо записать каждую величину с точностью до 1 кг, используя три разных способа округления. Для этого воспользуемся следующими правилами и соотношениями единиц массы: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

1) 5 кг 768 г

а) с недостатком: отбрасываем граммы, оставляя только целое число килограммов. Получаем 5 кг.
б) с избытком: так как есть граммы (768 г > 0), увеличиваем целое число килограммов на 1. Получаем $5 + 1 = 6$ кг.
в) с округлением: по правилам математического округления, смотрим на количество граммов. Так как $768 \text{ г} \ge 500 \text{ г}$, округляем в большую сторону. Получаем 6 кг.
Ответ: а) 5 кг; б) 6 кг; в) 6 кг.

2) 9 кг 326 г

а) с недостатком: отбрасываем граммы. Получаем 9 кг.
б) с избытком: так как есть граммы (326 г > 0), увеличиваем целое число килограммов на 1. Получаем $9 + 1 = 10$ кг.
в) с округлением: так как $326 \text{ г} < 500 \text{ г}$, округляем в меньшую сторону (оставляем целое число килограммов без изменений). Получаем 9 кг.
Ответ: а) 9 кг; б) 10 кг; в) 9 кг.

3) 4 ц 36 кг 125 г

Сначала переведем величину в килограммы и граммы: $4 \text{ ц } = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$.
Следовательно, $4 \text{ ц } 36 \text{ кг } 125 \text{ г} = 400 \text{ кг} + 36 \text{ кг} + 125 \text{ г} = 436 \text{ кг } 125 \text{ г}$.
а) с недостатком: отбрасываем 125 г. Получаем 436 кг.
б) с избытком: так как есть граммы (125 г > 0), увеличиваем целое число килограммов на 1. Получаем $436 + 1 = 437$ кг.
в) с округлением: так как $125 \text{ г} < 500 \text{ г}$, округляем в меньшую сторону. Получаем 436 кг.
Ответ: а) 436 кг; б) 437 кг; в) 436 кг.

4) 5 т 7 ц

Сначала переведем величину в килограммы: $5 \text{ т } = 5 \times 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$; $7 \text{ ц} = 7 \times 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.
Следовательно, $5 \text{ т } 7 \text{ ц} = 5000 \text{ кг} + 700 \text{ кг} = 5700 \text{ кг}$.
Данная величина уже выражена целым числом килограммов (количество граммов равно 0).
а) с недостатком: значение не меняется. Получаем 5700 кг.
б) с избытком: так как нет дробной части (граммов), значение не меняется. Получаем 5700 кг.
в) с округлением: так как $0 \text{ г} < 500 \text{ г}$, округление происходит в меньшую сторону, то есть значение не меняется. Получаем 5700 кг.
Ответ: а) 5700 кг; б) 5700 кг; в) 5700 кг.