Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.199. а) Пешеход за 3 ч прошёл 12 км. Какова его скорость?

б) Какой путь прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью 12 км/ч?

в) Бревно плывёт по реке, скорость течения которой 3 км/ч. За какое время оно проплывёт 15 км?

а) Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Формула для нахождения скорости: $v = S / t$, где $v$ – скорость, $S$ – расстояние, $t$ – время.
Расстояние, которое прошёл пешеход, равно 12 км, а время в пути – 3 ч.
$12 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 4 \text{ км/ч}$.
Ответ: 4 км/ч.

б) Чтобы найти путь (расстояние), нужно скорость умножить на время. Формула для нахождения расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, $t$ – время.
Скорость катера равна 12 км/ч, а время в пути – 2 ч.
$12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км}$.
Ответ: 24 км.

в) Бревно, плывущее по реке, движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна 3 км/ч.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Формула для нахождения времени: $t = S / v$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, $v$ – скорость.
Расстояние, которое должно проплыть бревно, равно 15 км.
$15 \text{ км} / 3 \text{ км/ч} = 5 \text{ ч}$.
Ответ: 5 ч.

2.200. а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

б) На путь из пункта $A$ в пункт $B$ теплоход затратил $1$ ч $40$ мин, а на обратный путь — $2$ ч. В каком направлении течёт река?

в) Скорость катера в стоячей воде равна $18$ км/ч. Какой путь пройдёт катер за $3$ ч?

г) Скорость течения реки $2$ км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (щепку, плот, лодку) за $1$ ч; за $5$ ч?

Это объясняется влиянием течения реки. При движении лодки по течению (вниз по реке) её скорость относительно берега равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{лодки} + v_{течения}$. При движении против течения (вверх по реке) её скорость относительно берега равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против~течения} = v_{лодки} - v_{течения}$.

Поскольку $v_{по~течению} > v_{против~течения}$, а расстояние в обоих случаях одинаково, то на путь по течению затрачивается меньше времени, чем на тот же путь против течения.

Ответ: Разница во времени объясняется влиянием течения реки: по течению оно помогает лодке (увеличивает скорость), а против течения — мешает (уменьшает скорость).

Время в пути из пункта А в пункт В ($t_{А \to В} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин}$) меньше, чем время на обратный путь из В в А ($t_{В \to А} = 2 \text{ ч}$).

Поскольку расстояние одинаково, меньшее время в пути означает большую скорость движения. Движение с большей скоростью происходит по течению реки.

Следовательно, из пункта А в пункт В теплоход плыл по течению. Это означает, что река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

Скорость катера в стоячей воде (то есть его собственная скорость) равна $v = 18 \text{ км/ч}$. Время движения $t = 3 \text{ ч}$.

Поскольку в задаче говорится о движении в стоячей воде (течение отсутствует), путь рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$.

Выполним расчёт: $S = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 3 \text{ ч} = 54 \text{ км}$.

Ответ: Катер пройдёт 54 км.

Любой предмет, свободно плывущий по реке (щепка, плот или лодка с выключенным мотором), движется со скоростью течения реки. По условию, скорость течения равна $v_{течения} = 2 \text{ км/ч}$.

Расстояние, на которое река сносит предмет, вычисляется по формуле $S = v_{течения} \cdot t$.

За время $t_1 = 1 \text{ ч}$ река относит предмет на расстояние: $S_1 = 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 1 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.

За время $t_2 = 5 \text{ ч}$ река относит предмет на расстояние: $S_2 = 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 5 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Ответ: За 1 час река относит предмет на 2 км, за 5 часов — на 10 км.

2.201. Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки; против течения?

Скорость катера по течению реки
Когда катер движется по течению, его собственная скорость (скорость в стоячей воде) складывается со скоростью течения. Чтобы найти скорость катера по течению, необходимо к его собственной скорости прибавить скорость течения реки.
Собственная скорость катера ($V_{собст}$) = 18 км/ч.
Скорость течения реки ($V_{теч}$) = 2 км/ч.
Скорость по течению ($V_{по}$) вычисляется по формуле:
$V_{по} = V_{собст} + V_{теч}$
Подставим данные значения в формулу:
$V_{по} = 18 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$
Ответ: 20 км/ч.

Скорость катера против течения
Когда катер движется против течения, скорость течения вычитается из его собственной скорости, так как течение замедляет движение катера. Чтобы найти скорость катера против течения, необходимо из его собственной скорости вычесть скорость течения реки.
Скорость против течения ($V_{против}$) вычисляется по формуле:
$V_{против} = V_{собст} - V_{теч}$
Подставим данные значения в формулу:
$V_{против} = 18 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$
Ответ: 16 км/ч.

2.202. Скорость катера в стоячей воде равна $12 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки — $3 \text{ км/ч}$. Определите:

а) скорость катера по течению реки;

б) скорость катера против течения реки;

в) путь катера по течению реки за 3 ч;

г) путь катера против течения реки за 5 ч.

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера как $v_к$ и скорость течения реки как $v_т$.
По условию:
$v_к = 12$ км/ч
$v_т = 3$ км/ч

а) скорость катера по течению реки;

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения. Скорость по течению ($v_{по}$) равна:
$v_{по} = v_к + v_т$
$v_{по} = 12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$
Ответ: 15 км/ч

б) скорость катера против течения реки;

Когда катер движется против течения, скорость течения вычитается из его собственной скорости. Скорость против течения ($v_{против}$) равна:
$v_{против} = v_к - v_т$
$v_{против} = 12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$
Ответ: 9 км/ч

в) путь катера по течению реки за 3 ч;

Путь ($S$) вычисляется по формуле $S = v \times t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.
Используем скорость по течению ($v_{по} = 15$ км/ч) и время $t = 3$ ч:
$S_{по} = v_{по} \times t$
$S_{по} = 15 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 45 \text{ км}$
Ответ: 45 км

г) путь катера против течения реки за 5 ч.

Используем скорость против течения ($v_{против} = 9$ км/ч) и время $t = 5$ ч:
$S_{против} = v_{против} \times t$
$S_{против} = 9 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$
Ответ: 45 км

2.203. а) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними 120 км?

б) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если её собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

а)

Чтобы найти время, которое теплоход затратит на путь по течению реки, сначала нужно определить его скорость движения по течению. Скорость по течению складывается из собственной скорости теплохода и скорости течения.
Собственная скорость теплохода ($V_{соб}$) равна 27 км/ч.
Скорость течения реки ($V_{теч}$) равна 3 км/ч.
Скорость теплохода по течению ($V_{по \ теч}$) вычисляется по формуле:
$V_{по \ теч} = V_{соб} + V_{теч} = 27 \ км/ч + 3 \ км/ч = 30 \ км/ч$.

Теперь, зная скорость и расстояние ($S = 120$ км), можно найти время ($t$) по формуле $t = S / V$.
$t = \frac{120 \ км}{30 \ км/ч} = 4 \ ч$.

Ответ: 4 часа.

б)

Чтобы найти время, которое потребуется моторной лодке для движения против течения, необходимо сначала вычислить её скорость против течения. Эта скорость равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки.
Собственная скорость лодки ($V_{соб}$) равна 20 км/ч.
Скорость течения реки ($V_{теч}$) равна 2 км/ч.
Скорость лодки против течения ($V_{против \ теч}$) вычисляется по формуле:
$V_{против \ теч} = V_{соб} - V_{теч} = 20 \ км/ч - 2 \ км/ч = 18 \ км/ч$.

Зная скорость против течения и расстояние ($S = 90$ км), найдем время ($t$) по формуле $t = S / V$.
$t = \frac{90 \ км}{18 \ км/ч} = 5 \ ч$.

Ответ: 5 часов.