Страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.227. а) Какую линию называют ломаной линией?

б) Что называют звеньями ломаной?

в) Как обозначают ломаную?

г) Какую ломаную называют замкнутой?

а) Какую линию называют ломаной линией?

Ломаной линией, или просто ломаной, называют геометрическую фигуру, которая состоит из нескольких отрезков, последовательно соединенных своими концами. Точки, где соединяются отрезки, называются вершинами ломаной. При этом обычно подразумевается, что два соседних отрезка (звена) не лежат на одной прямой.

Ответ: Ломаная линия — это фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков (звеньев), концы которых являются вершинами ломаной.

б) Что называют звеньями ломаной?

Звеньями ломаной называют отрезки, из которых она состоит. Каждое звено соединяет две соседние вершины ломаной.

Ответ: Звеньями ломаной называют отрезки, которые её образуют.

в) Как обозначают ломаную?

Ломаную линию обозначают, последовательно перечисляя её вершины. Вершины принято обозначать заглавными латинскими буквами. Например, если ломаная имеет вершины в точках $A$, $B$, $C$ и $D$, то её обозначают как $ABCD$. Порядок букв указывает на последовательность соединения вершин.

Ответ: Ломаную обозначают последовательным перечислением её вершин, например, $A_1A_2A_3...A_n$.

г) Какую ломаную называют замкнутой?

Ломаную линию называют замкнутой, если её начальная и конечная точки совпадают. Иными словами, конец последнего звена совпадает с началом первого звена. Замкнутая ломаная линия образует многоугольник.

Ответ: Замкнутой называют ломаную, у которой начальная и конечная вершины совпадают.

2.228. Постройте ломаную ABCDE. Назовите все её звенья.

Постройте ломаную ABCDE

Ломаная линия — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединённых своими концами. Ломаная $ABCDE$ имеет пять вершин, которые обозначаются буквами $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$.

Чтобы построить такую ломаную, нужно выполнить следующие действия:

1. Отметить на плоскости (например, на листе бумаги) пять произвольных точек.
2. Присвоить этим точкам имена — $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$.
3. Последовательно соединить эти точки отрезками с помощью линейки:
   • соединить точку $A$ с точкой $B$;
   • соединить точку $B$ с точкой $C$;
   • соединить точку $C$ с точкой $D$;
   • соединить точку $D$ с точкой $E$.

Полученная фигура и будет ломаной $ABCDE$. Точки $A$ и $E$ являются концами ломаной. Пример построенной ломаной может выглядеть так:

Ответ: Ломаная $ABCDE$ построена путем последовательного соединения пяти вершин $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ отрезками.

Назовите все её звенья

Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. Название ломаной $ABCDE$ указывает на порядок соединения её вершин. Следовательно, звеньями этой ломаной являются отрезки, соединяющие соседние вершины.

У ломаной $ABCDE$ четыре звена:

• Звено $AB$ (соединяет вершины $A$ и $B$)
• Звено $BC$ (соединяет вершины $B$ и $C$)
• Звено $CD$ (соединяет вершины $C$ и $D$)
• Звено $DE$ (соединяет вершины $D$ и $E$)

Ответ: Звенья ломаной $ABCDE$: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$.

2.229. Существует ли замкнутая ломаная, имеющая три звена, длины которых равны:

а) 1 см, 2 см, 2 см;

б) 1 см, 2 см, 3 см;

в) 1 см, 2 см, 4 см?

Замкнутая ломаная, имеющая три звена, представляет собой треугольник, стороны которого равны длинам звеньев ломаной. Для того чтобы треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$ существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Иными словами, должны одновременно выполняться три неравенства:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$
На практике достаточно проверить выполнение только одного условия: сумма длин двух самых коротких сторон должна быть больше длины самой длинной стороны.

2.230. На рисунке 122 изображена ломаная ABCD. $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 13$ см, $AD = 12$ см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами.

Определение длины ломаной ABCD

Длина ломаной линии представляет собой сумму длин всех составляющих ее отрезков (звеньев). Ломаная ABCD состоит из трех звеньев: AB, BC и CD.

Согласно условию задачи, нам известны длины каждого звена:
$AB = 3$ см
$BC = 4$ см
$CD = 13$ см

Чтобы найти общую длину ломаной, необходимо сложить длины этих звеньев:
$L_{ABCD} = AB + BC + CD = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 13 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.

Определение расстояния между концами ломаной

Концами ломаной линии ABCD являются ее начальная точка A и конечная точка D. Расстояние между концами ломаной — это длина прямого отрезка, соединяющего эти две точки, то есть длина отрезка AD.

По условию задачи, эта длина уже дана:
$AD = 12$ см.

Следовательно, расстояние между концами ломаной составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

2.231. Докажите, что длина ломаной ABC больше длины ломаной ADC (рис. 123).

Рис. 123

$AB + BC > AD + DC$

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

1. Продлим отрезок AD до пересечения со стороной BC. Точку пересечения обозначим как E, как показано на рисунке.

2. Рассмотрим треугольник ABE. Согласно неравенству треугольника:

$AB + BE > AE$

Точка D лежит на отрезке AE, поэтому длину отрезка AE можно представить как сумму длин отрезков AD и DE: $AE = AD + DE$. Подставим это в наше неравенство:

$AB + BE > AD + DE$ (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник CDE. Снова применим неравенство треугольника:

$DE + EC > DC$ (2)

4. Сложим левые и правые части неравенств (1) и (2):

$(AB + BE) + (DE + EC) > (AD + DE) + DC$

В обеих частях неравенства есть слагаемое $DE$, мы можем его убрать (вычесть из обеих частей):

$AB + BE + EC > AD + DC$

5. Заметим, что точка E лежит на отрезке BC, следовательно, сумма длин отрезков BE и EC равна длине отрезка BC: $BE + EC = BC$.

Подставим это в последнее неравенство:

$AB + BC > AD + DC$

Длина ломаной ABC - это сумма длин ее звеньев, то есть $AB + BC$. Длина ломаной ADC - это $AD + DC$. Таким образом, мы доказали, что длина ломаной ABC больше длины ломаной ADC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AB + BC > AD + DC$ доказано на основе последовательного применения неравенства треугольника к треугольникам ABE и CDE.