Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.38. a) Какое число называют простым?

б) Какое число называют составным?

а) Простым называют натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Другими словами, если натуральное число $p > 1$ делится без остатка только на 1 и на $p$, то оно является простым.

Например, число 7 является простым, так как оно делится только на 1 и на 7. Другие примеры простых чисел: 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19. Число 2 — это самое маленькое и единственное чётное простое число.

Важно отметить, что число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один натуральный делитель — оно само.

Ответ: Простым называют натуральное число больше 1, которое имеет только два делителя: 1 и само себя.

б) Составным называют натуральное число, которое больше 1 и не является простым. Это означает, что составное число имеет более двух различных натуральных делителей. То есть, кроме 1 и самого себя, у него есть хотя бы ещё один делитель.

Например, число 6 является составным, так как оно делится на 1, 2, 3 и 6. У него четыре делителя. Его можно представить в виде произведения множителей, отличных от 1 и 6, например, $6 = 2 \cdot 3$.

Другие примеры составных чисел: 4 (делители 1, 2, 4), 8 (делители 1, 2, 4, 8), 9 (делители 1, 3, 9), 10 (делители 1, 2, 5, 10).

Таким образом, любое натуральное число больше 1 является либо простым, либо составным. Число 1 не относится ни к одной из этих категорий.

Ответ: Составным называют натуральное число больше 1, которое имеет более двух делителей.

3.39 Является ли число 1:

а) простым;

б) составным?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определениям простого и составного чисел.

Простое число — это натуральное число больше `$1$`, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Составное число — это натуральное число больше `$1$`, которое имеет более двух натуральных делителей.

Все натуральные числа делятся на три категории: простые числа, составные числа и число `$1$`, которое не относится ни к одной из этих двух групп.

а) Число `$1$` не является простым, потому что оно не удовлетворяет определению простого числа. Во-первых, простое число должно быть больше `$1$`. Во-вторых, у простого числа должно быть ровно два различных делителя. Число `$1$` имеет только один делитель — само себя.
Ответ: нет, число 1 не является простым.

б) Число `$1$` не является составным, так как оно не удовлетворяет определению составного числа. Составное число должно быть больше `$1$` и иметь более двух делителей. Число `$1$` не больше `$1$` и имеет всего один делитель.
Ответ: нет, число 1 не является составным.

3.40. Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел?

Множество всех натуральных чисел, которое принято обозначать символом $\mathbb{N}$, состоит из чисел, возникающих естественным образом при счете предметов (например, один, два, три...).

Существует два основных подхода к определению натуральных чисел, которые различаются тем, включают ли они ноль:

• Без нуля: В большинстве математических традиций, и в частности в школьной программе по математике в России, натуральными числами считаются целые положительные числа, начиная с 1. Ряд таких чисел выглядит так: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ и так далее до бесконечности. Множество в этом случае записывается как $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
• С нулем: В некоторых разделах высшей математики (например, в теории множеств, математической логике) и в информатике к натуральным числам также причисляют 0. Тогда ряд начинается с нуля: $0, 1, 2, 3, \dots$. Такое множество для ясности часто обозначают как $\mathbb{N}_0$.

Поскольку вопрос, вероятнее всего, задан в рамках школьного курса, следует придерживаться первого определения. Таким образом, множество натуральных чисел — это бесконечная последовательность целых положительных чисел, используемых для счета.

Ответ: Множество всех натуральных чисел состоит из целых положительных чисел, начиная с единицы: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ и так далее до бесконечности.

3.41. Назовите наименьшее простое число.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определение простого числа.

Простое число — это натуральное число (то есть целое положительное число), которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Давайте рассмотрим натуральные числа по порядку, начиная с наименьшего, и проверим, являются ли они простыми:

Число $1$ не является простым. Согласно определению, простое число должно быть больше $1$. Кроме того, у него только один делитель — это само число $1$.

Следующее натуральное число — $2$. Проверим его:

• Оно больше $1$.
• Оно имеет ровно два делителя: $1$ и $2$.

Оба условия выполняются, следовательно, $2$ — простое число.

Поскольку мы начали проверку с наименьших натуральных чисел и $2$ — это первое число, которое удовлетворяет определению простого числа, оно и является наименьшим простым числом.

Ответ: $2$

3.42. На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел?

$5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$

Какие из этих чисел являются простыми, какие — составными?

На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел?

Чтобы найти все числа (делители), на которые делится без остатка каждое из заданных чисел, необходимо последовательно проверить делимость или разложить число на простые множители.
Для каждого числа из списка (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) найдём все его натуральные делители:
- Число 5 делится на: 1, 5.
- Число 6 делится на: 1, 2, 3, 6.
- Число 7 делится на: 1, 7.
- Число 8 делится на: 1, 2, 4, 8.
- Число 9 делится на: 1, 3, 9.
- Число 10 делится на: 1, 2, 5, 10.
- Число 11 делится на: 1, 11.
- Число 12 делится на: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Число 13 делится на: 1, 13.
- Число 14 делится на: 1, 2, 7, 14.
- Число 15 делится на: 1, 3, 5, 15.
Ответ: Делителями чисел являются: для 5 — 1, 5; для 6 — 1, 2, 3, 6; для 7 — 1, 7; для 8 — 1, 2, 4, 8; для 9 — 1, 3, 9; для 10 — 1, 2, 5, 10; для 11 — 1, 11; для 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12; для 13 — 1, 13; для 14 — 1, 2, 7, 14; для 15 — 1, 3, 5, 15.

Какие из этих чисел являются простыми, какие — составными?

Согласно определению:
- Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.
- Составное число — это натуральное число больше единицы, которое имеет более двух натуральных делителей.

Проанализируем каждое число на основе найденных в предыдущем пункте делителей:
- 5 имеет два делителя (1 и 5) — следовательно, это простое число.
- 6 имеет четыре делителя (1, 2, 3, 6) — следовательно, это составное число.
- 7 имеет два делителя (1 и 7) — следовательно, это простое число.
- 8 имеет четыре делителя (1, 2, 4, 8) — следовательно, это составное число.
- 9 имеет три делителя (1, 3, 9) — следовательно, это составное число.
- 10 имеет четыре делителя (1, 2, 5, 10) — следовательно, это составное число.
- 11 имеет два делителя (1 и 11) — следовательно, это простое число.
- 12 имеет шесть делителей (1, 2, 3, 4, 6, 12) — следовательно, это составное число.
- 13 имеет два делителя (1 и 13) — следовательно, это простое число.
- 14 имеет четыре делителя (1, 2, 7, 14) — следовательно, это составное число.
- 15 имеет четыре делителя (1, 3, 5, 15) — следовательно, это составное число.
Ответ: Простые числа: 5, 7, 11, 13. Составные числа: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.

3.43. Используя признаки делимости, докажите, что число:

а) 7690;
б) 7395;
в) 4256;
г) 12 375;
д) 12 321
является составным.

а) 7690;
Составное число — это натуральное число, которое имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что число является составным, достаточно найти хотя бы один такой делитель, используя признаки делимости.
Число 7690 оканчивается на цифру 0. Согласно признаку делимости на 10, если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Поскольку число 7690 имеет делитель 10 (а также 2 и 5), отличный от 1 и 7690, оно является составным.
Ответ: число 7690 является составным, так как оно делится на 10.

б) 7395;
Число 7395 оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.
Поскольку число 7395 имеет делитель 5, отличный от 1 и 7395, оно является составным.
Ответ: число 7395 является составным, так как оно делится на 5.

в) 4256;
Число 4256 оканчивается на цифру 6, которая является чётной. Согласно признаку делимости на 2, если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), то это число делится без остатка на 2.
Поскольку число 4256 имеет делитель 2, отличный от 1 и 4256, оно является составным.
Ответ: число 4256 является составным, так как оно делится на 2.

г) 12 375;
Число 12 375 оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.
Поскольку число 12 375 имеет делитель 5, отличный от 1 и 12 375, оно является составным.
Ответ: число 12 375 является составным, так как оно делится на 5.

д) 12 321
Для числа 12 321 проверим признак делимости на 3. Согласно этому признаку, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Найдём сумму цифр числа 12 321: $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$.
Сумма цифр равна 9, а 9 делится на 3 без остатка ($9 \div 3 = 3$). Следовательно, и само число 12 321 делится на 3.
Поскольку число 12 321 имеет делитель 3, отличный от 1 и 12 321, оно является составным.
Ответ: число 12 321 является составным, так как оно делится на 3.

3.44. Не пользуясь таблицей простых чисел, докажите, что число:

а) 29;

б) 41;

в) 53;

г) 59 является простым.

Чтобы доказать, что число является простым, необходимо проверить, что оно не делится ни на одно простое число, которое меньше или равно его квадратному корню. Если таких делителей нет, то число простое.

а) 29;

Найдём квадратный корень из 29: $ \sqrt{29} \approx 5.38 $. Простые числа, которые меньше 5.38, это 2, 3 и 5.

Проверим делимость 29 на эти числа:

- 29 не делится на 2, так как оно нечетное.

- 29 не делится на 3, так как сумма его цифр $2+9=11$, а 11 не делится на 3.

- 29 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.

Так как 29 не имеет простых делителей, меньших или равных его квадратному корню, оно является простым числом.

Ответ: число 29 является простым.

б) 41;

Найдём квадратный корень из 41: $ \sqrt{41} \approx 6.4 $. Простые числа, которые меньше 6.4, это 2, 3 и 5.

Проверим делимость 41 на эти числа:

- 41 не делится на 2, так как оно нечетное.

- 41 не делится на 3, так как сумма его цифр $4+1=5$, а 5 не делится на 3.

- 41 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.

Так как 41 не имеет простых делителей, меньших или равных его квадратному корню, оно является простым числом.

Ответ: число 41 является простым.

в) 53;

Найдём квадратный корень из 53: $ \sqrt{53} \approx 7.28 $. Простые числа, которые меньше 7.28, это 2, 3, 5 и 7.

Проверим делимость 53 на эти числа:

- 53 не делится на 2, так как оно нечетное.

- 53 не делится на 3, так как сумма его цифр $5+3=8$, а 8 не делится на 3.

- 53 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.

- 53 не делится на 7, так как $ 7 \times 7 = 49 $ и $ 7 \times 8 = 56 $.

Так как 53 не имеет простых делителей, меньших или равных его квадратному корню, оно является простым числом.

Ответ: число 53 является простым.

г) 59

Найдём квадратный корень из 59: $ \sqrt{59} \approx 7.68 $. Простые числа, которые меньше 7.68, это 2, 3, 5 и 7.

Проверим делимость 59 на эти числа:

- 59 не делится на 2, так как оно нечетное.

- 59 не делится на 3, так как сумма его цифр $5+9=14$, а 14 не делится на 3.

- 59 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.

- 59 не делится на 7, так как $ 7 \times 8 = 56 $ и $ 7 \times 9 = 63 $.

Так как 59 не имеет простых делителей, меньших или равных его квадратному корню, оно является простым числом.

Ответ: число 59 является простым.

3.45. С помощью таблицы простых чисел:

a) определите, какие из чисел: 47; 69; 127; 301; 447; 517; 673; 879 — являются простыми;

б) назовите все простые числа, большие 30, но меньшие 50;

в) назовите все составные числа, большие 30, но меньшие 50.

а) Для того чтобы определить, какие из чисел являются простыми, необходимо проверить, делятся ли они на какие-либо числа, кроме 1 и самих себя. Простое число имеет ровно два делителя, в то время как составное — больше двух.
- 47: Проверим делимость на простые числа, квадрат которых не превышает 47 ($\sqrt{47} \approx 6.8$). Это 2, 3, 5. Число 47 нечетное, сумма цифр $4+7=11$ (не делится на 3), не оканчивается на 0 или 5. Значит, 47 — простое число.
- 69: Сумма цифр $6+9=15$. Так как 15 делится на 3, то и 69 делится на 3 ($69 = 3 \cdot 23$). Значит, 69 — составное число.
- 127: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{127} \approx 11.2$ (2, 3, 5, 7, 11). Число 127 не делится ни на одно из них. Значит, 127 — простое число.
- 301: Проверим делимость на простые числа. $301 \div 7 = 43$. Так как $301 = 7 \cdot 43$, 301 — составное число.
- 447: Сумма цифр $4+4+7=15$. Так как 15 делится на 3, то и 447 делится на 3 ($447 = 3 \cdot 149$). Значит, 447 — составное число.
- 517: Проверим делимость на простые числа. $517 \div 11 = 47$. Так как $517 = 11 \cdot 47$, 517 — составное число.
- 673: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{673} \approx 25.9$. Число не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Значит, 673 — простое число.
- 879: Сумма цифр $8+7+9=24$. Так как 24 делится на 3, то и 879 делится на 3 ($879 = 3 \cdot 293$). Значит, 879 — составное число.
Ответ: 47; 127; 673.

б) Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя. Необходимо найти все такие числа в интервале от 30 до 50.
Выпишем все целые числа в этом диапазоне: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Проанализируем их:
- 31 — простое.
- 37 — простое.
- 41 — простое.
- 43 — простое.
- 47 — простое.
Все остальные числа в этом диапазоне являются составными.
Ответ: 31; 37; 41; 43; 47.

в) Составные числа — это натуральные числа больше 1, которые не являются простыми. Нам нужно найти все составные числа в интервале от 30 до 50. Это все целые числа из этого промежутка, за исключением простых, которые мы нашли в пункте б).
Интервал чисел: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Простые числа в этом интервале: 31, 37, 41, 43, 47.
Следовательно, составными являются все остальные числа: 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.
Ответ: 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42; 44; 45; 46; 48; 49.

3.46. Являются ли простыми числа 998; 999; 1000?

Для того чтобы определить, являются ли числа 998, 999 и 1000 простыми, необходимо проверить, имеют ли они делители, отличные от 1 и самого себя. Напомним, что простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя.

998

Число 998 является четным, так как его последняя цифра — 8. Любое четное число, которое больше 2, делится на 2. Следовательно, 998 имеет делитель 2, помимо 1 и 998.
$998 \div 2 = 499$.
Так как у числа 998 есть делители, отличные от 1 и самого себя, оно не является простым. Оно является составным.
Ответ: число 998 не является простым.

999

Проверим число 999 на делимость, используя признаки делимости. Сумма цифр числа 999 равна $9 + 9 + 9 = 27$. Число 27 делится на 3 ($27 \div 3 = 9$), следовательно, и само число 999 делится на 3.
$999 \div 3 = 333$.
Так как у числа 999 есть делители, отличные от 1 и самого себя, оно не является простым. Оно является составным.
Ответ: число 999 не является простым.

1000

Число 1000 оканчивается на 0. Любое число, оканчивающееся на 0, делится на 10, а значит, и на 2 и 5.
$1000 \div 10 = 100$.
Так как у числа 1000 есть множество делителей, отличных от 1 и самого себя (например, 2, 5, 10), оно не является простым. Оно является составным.
Ответ: число 1000 не является простым.