Страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.47. Докажите, что, кроме числа 2, не существует других чётных простых чисел.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями простого и чётного чисел.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Чётное число — это целое число, которое без остатка делится на 2. Любое чётное число $N$ можно представить в виде $N = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим два случая для всех чётных натуральных чисел.

1. Число 2.
Число 2 является чётным, так как $2 = 2 \cdot 1$. Проверим, является ли оно простым. Натуральными делителями числа 2 являются только 1 и 2. Так как у него ровно два делителя, число 2 удовлетворяет определению простого числа. Следовательно, 2 — это чётное простое число.

2. Любое чётное число $N$, большее 2.
Возьмём любое чётное число $N$ такое, что $N > 2$. По определению чётного числа, $N$ делится на 2. Это означает, что число $N$ можно представить в виде произведения $N = 2 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку по условию $N > 2$, то и $2k > 2$, из чего следует, что $k > 1$.

Таким образом, у числа $N$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1 (любое натуральное число делится на 1), 2 (поскольку $N$ — чётное) и само число $N$. Так как $N > 2$, все эти три делителя (1, 2 и $N$) различны.

Согласно определению, простое число должно иметь ровно два делителя. Наличие у числа $N$ как минимум трёх делителей означает, что оно не является простым. Любое чётное число, большее 2, является составным.

Вывод: Мы показали, что число 2 является чётным и простым. Мы также показали, что любое другое чётное число больше 2 является составным. Следовательно, не существует других чётных простых чисел, кроме числа 2.

Ответ: Любое чётное число, кроме 2, можно представить в виде $N = 2k$, где $k$ - целое число больше 1. Это означает, что у такого числа $N$ всегда есть как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Следовательно, по определению простого числа, оно не может быть простым. Число 2 имеет только два делителя, 1 и 2, и поэтому является единственным чётным простым числом.

3.48. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

а) двух чётных чисел

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два чётных натуральных числа, которые можно представить в виде $2k$ и $2m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Их сумма равна $2k + 2m = 2(k+m)$.

Результат $2(k+m)$ всегда делится на 2, то есть является чётным числом. Единственное простое число, которое является чётным — это 2. Однако, наименьшая возможная сумма двух положительных чётных чисел — это $2+2=4$. Любая другая сумма двух чётных чисел будет больше 4. Так как любое чётное число, большее 2, является составным (поскольку делится на 2), то записать простое число в виде суммы двух чётных чисел невозможно.

Ответ: нет.

б) двух нечётных чисел

Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два нечётных числа, которые можно представить в виде $2k+1$ и $2m+1$, где $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа. Их сумма равна $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.

Эта сумма всегда является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2. Мы можем получить 2 в сумме, если $2(k+m+1)=2$, что означает $k+m+1=1$, то есть $k+m=0$. Поскольку $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа, это равенство возможно только если $k=0$ и $m=0$. В этом случае исходные нечётные числа равны $1$ и $1$. Их сумма: $1+1=2$. Число 2 является простым. Следовательно, простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел.

Ответ: да.

в) чётного и нечётного чисел

Сумма чётного и нечётного числа всегда является нечётным числом. Пусть даны чётное число $2k$ и нечётное число $2m+1$, где $k$ — натуральное число, а $m$ — неотрицательное целое. Их сумма равна $2k + (2m+1) = 2(k+m) + 1$.

Эта сумма всегда нечётна. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$. Его всегда можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел. Например, если взять в качестве одного слагаемого наименьшее чётное натуральное число 2, то второе слагаемое будет равно $p-2$. Так как $p$ — нечётное простое число (а значит $p \ge 3$), то $p-2$ будет положительным нечётным числом. Например, $3=2+1$; $5=2+3$; $11=2+9$. Так как мы можем привести пример для любого нечётного простого числа, то простое число можно записать в виде суммы чётного и нечётного чисел.

Ответ: да.

3.49. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом?

а) Да, сумма двух простых чисел может быть простым числом. Для подтверждения этого достаточно привести один пример. Напомним, что простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, ...).

Рассмотрим два простых числа: 2 и 3.

Найдем их сумму:

$2 + 3 = 5$

Результат, число 5, также является простым числом, так как оно делится только на 1 и на 5.

Стоит отметить, что такой результат возможен только в том случае, если одно из слагаемых — это число 2 (единственное четное простое число). Сумма двух любых нечетных простых чисел всегда будет четным числом, большим 2, и, следовательно, составным.

Ответ: да, может. Например, $2 + 3 = 5$.

б) Нет, утверждение, что сумма любых двух простых чисел является простым числом, неверно. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такую пару простых чисел, сумма которых не будет простой.

Рассмотрим два простых числа: 3 и 5.

Найдем их сумму:

$3 + 5 = 8$

Число 8 не является простым (оно — составное), так как, помимо 1 и 8, оно также делится на 2 и 4. Так как мы нашли контрпример, исходное утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно. Например, $3 + 5 = 8$, а 8 — составное число.

3.50. Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечётное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?

Эта задача не имеет решения из-за свойств чётных и нечётных чисел. Давайте разберёмся, почему.

По условию, нам нужно разделить 99 конфет между четырьмя людьми так, чтобы каждый получил нечётное количество. Обозначим количество конфет для каждого человека как $n_1, n_2, n_3$ и $n_4$. Тогда их сумма должна быть равна 99:
$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 99$

Теперь рассмотрим правила сложения нечётных чисел:

• Сумма двух нечётных чисел всегда даёт чётное число. Например, $3 + 5 = 8$.
• Сумма чётного и нечётного чисел всегда даёт нечётное число.
• Сумма двух чётных чисел всегда даёт чётное число.

Применим это к нашей задаче. Нам нужно сложить четыре нечётных числа:
$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = (n_1 + n_2) + (n_3 + n_4)$

Так как $n_1$ и $n_2$ — нечётные, их сумма $(n_1 + n_2)$ будет чётным числом.
Аналогично, так как $n_3$ и $n_4$ — нечётные, их сумма $(n_3 + n_4)$ также будет чётным числом.

В итоге мы получаем сумму двух чётных чисел, которая всегда является чётным числом:
чётное + чётное = чётное.

Таким образом, сумма четырёх нечётных чисел всегда будет чётным числом. Однако общее количество конфет — 99, а это нечётное число. Получается противоречие: чётное число не может равняться нечётному. Следовательно, выполнить условие задачи невозможно.

Ответ: Сумма четырёх нечётных чисел всегда является чётным числом, а общее количество конфет (99) — нечётное. Поэтому разделить 99 конфет на четыре нечётные части невозможно.

3.51. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:

а) $35a25$;

б) $4ab40$;

в) $5a2b5$;

г) $72ab8$.

Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?

Для решения задачи воспользуемся признаками делимости чисел.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

а) 35a25
Найдем сумму известных цифр: $3 + 5 + 2 + 5 = 15$.
Сумма всех цифр числа равна $15 + a$. Так как 15 уже делится на 3, то для того, чтобы вся сумма делилась на 3, цифра $a$ также должна быть кратна 3.
Возможные значения для $a$: 0, 3, 6, 9.
Получаем числа: 35025, 35325, 35625, 35925.
Ответ: например, 35025, 35325, 35625, 35925.

б) 4ab40
Найдем сумму известных цифр: $4 + 4 + 0 = 8$.
Сумма всех цифр числа равна $8 + a + b$. Эта сумма должна делиться на 3. Значит, сумма $a+b$ при сложении с 8 должна давать число, кратное 3. Возможные значения для суммы $a+b$: 1, 4, 7, 10, 13, 16. Например, если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, а сумма цифр числа $4+1+0+4+0=9$, что делится на 3.
Если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, а сумма цифр числа $4+2+2+4+0=12$, что делится на 3.
Ответ: например, 41040, 42240.

в) 5a2b5
Найдем сумму известных цифр: $5 + 2 + 5 = 12$.
Сумма всех цифр числа равна $12 + a + b$. Так как 12 уже делится на 3, то сумма $a+b$ должна делиться на 3.
Возможные значения для суммы $a+b$: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Например, если $a=1, b=2$, то $a+b=3$, а сумма цифр $5+1+2+2+5=15$, что делится на 3.
Если $a=3, b=0$, то $a+b=3$, а сумма цифр $5+3+2+0+5=15$, что делится на 3.
Ответ: например, 51225, 53205.

г) 72ab8
Найдем сумму известных цифр: $7 + 2 + 8 = 17$.
Сумма всех цифр числа равна $17 + a + b$. Эта сумма должна делиться на 3. Ближайшие числа, большие 17 и кратные 3, это 18, 21, 24 и т.д.
Значит, сумма $a+b$ может быть равна: 1, 4, 7, 10, 13, 16.
Например, если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, а сумма цифр $7+2+1+0+8=18$, что делится на 3.
Если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, а сумма цифр $7+2+2+2+8=21$, что делится на 3.
Ответ: например, 72108, 72228.

Теперь определим, какие из полученных чисел делятся на 5, 2, 10 и 4.

Делятся на 5:
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Этому условию удовлетворяют все числа из пунктов а) (оканчиваются на 5), б) (оканчиваются на 0) и в) (оканчиваются на 5).
Ответ: числа, полученные в пунктах а), б), в).

Делятся на 2:
Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Этому условию удовлетворяют все числа из пунктов б) (оканчиваются на 0) и г) (оканчиваются на 8).
Ответ: числа, полученные в пунктах б), г).

Делятся на 10:
Число делится на 10, если его последняя цифра 0. Этому условию удовлетворяют все числа из пункта б).
Ответ: числа, полученные в пункте б).

Делятся на 4:
Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

• В пункте а) числа оканчиваются на 25. 25 не делится на 4.
• В пункте б) числа оканчиваются на 40. 40 делится на 4 ($40 : 4 = 10$). Значит, все числа из этого пункта делятся на 4.
• В пункте в) числа оканчиваются на `b5`. Любое такое число является нечетным и не может делиться на 4.
• В пункте г) числа оканчиваются на `b8`. Чтобы число делилось на 4, `b8` должно делиться на 4. Это возможно, если $b$ равно 0, 2, 4, 6, 8 (числа 08, 28, 48, 68, 88). Например, число 72108 (где $b=0$) делится на 4, а число 72018 (где $b=1$) не делится.

Ответ: все числа, полученные в пункте б), и некоторые числа из пункта г) (например, 72108, 72228).

3.52. a) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делиться на 3?

б) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9.

а) Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Чтобы написать четырёхзначное число, делящееся на 9, нужно подобрать четыре цифры, сумма которых кратна 9.
Например, возьмём число 2745. Сумма его цифр равна $2 + 7 + 4 + 5 = 18$.
Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 2745 делится на 9. Проверка: $2745 \div 9 = 305$.

Рассмотрим вторую часть вопроса: может ли число, делящееся на 9, не делиться на 3?
Поскольку $9 = 3 \times 3$, любое число, которое делится на 9, можно представить в виде $9k = 3 \times (3k)$, где $k$ — целое число. Это означает, что любое число, кратное 9, также кратно 3.
С точки зрения признаков делимости: если сумма цифр числа делится на 9, то она очевидно делится и на 3. Следовательно, если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3.

Ответ: например, 2745. Нет, не может.

б) Чтобы четырёхзначное число делилось на 3, но не делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3, но не делилась на 9.
Выберем сумму цифр, удовлетворяющую этому условию. Например, 6. Сумма 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), но не делится на 9.
Теперь составим четырёхзначное число, сумма цифр которого равна 6. Например, 1023.
Проверим сумму цифр: $1 + 0 + 2 + 3 = 6$.
Проверим делимость самого числа:
$1023 \div 3 = 341$ (делится на 3).
$1023 \div 9 \approx 113.67$ (не делится на 9).
Таким образом, число 1023 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: например, 1023.