Номер 3.51, страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.51. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:

а) $35a25$;

б) $4ab40$;

в) $5a2b5$;

г) $72ab8$.

Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?

Для решения задачи воспользуемся признаками делимости чисел.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

а) 35a25
Найдем сумму известных цифр: $3 + 5 + 2 + 5 = 15$.
Сумма всех цифр числа равна $15 + a$. Так как 15 уже делится на 3, то для того, чтобы вся сумма делилась на 3, цифра $a$ также должна быть кратна 3.
Возможные значения для $a$: 0, 3, 6, 9.
Получаем числа: 35025, 35325, 35625, 35925.
Ответ: например, 35025, 35325, 35625, 35925.

б) 4ab40
Найдем сумму известных цифр: $4 + 4 + 0 = 8$.
Сумма всех цифр числа равна $8 + a + b$. Эта сумма должна делиться на 3. Значит, сумма $a+b$ при сложении с 8 должна давать число, кратное 3. Возможные значения для суммы $a+b$: 1, 4, 7, 10, 13, 16. Например, если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, а сумма цифр числа $4+1+0+4+0=9$, что делится на 3.
Если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, а сумма цифр числа $4+2+2+4+0=12$, что делится на 3.
Ответ: например, 41040, 42240.

в) 5a2b5
Найдем сумму известных цифр: $5 + 2 + 5 = 12$.
Сумма всех цифр числа равна $12 + a + b$. Так как 12 уже делится на 3, то сумма $a+b$ должна делиться на 3.
Возможные значения для суммы $a+b$: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Например, если $a=1, b=2$, то $a+b=3$, а сумма цифр $5+1+2+2+5=15$, что делится на 3.
Если $a=3, b=0$, то $a+b=3$, а сумма цифр $5+3+2+0+5=15$, что делится на 3.
Ответ: например, 51225, 53205.

г) 72ab8
Найдем сумму известных цифр: $7 + 2 + 8 = 17$.
Сумма всех цифр числа равна $17 + a + b$. Эта сумма должна делиться на 3. Ближайшие числа, большие 17 и кратные 3, это 18, 21, 24 и т.д.
Значит, сумма $a+b$ может быть равна: 1, 4, 7, 10, 13, 16.
Например, если $a=1, b=0$, то $a+b=1$, а сумма цифр $7+2+1+0+8=18$, что делится на 3.
Если $a=2, b=2$, то $a+b=4$, а сумма цифр $7+2+2+2+8=21$, что делится на 3.
Ответ: например, 72108, 72228.

Теперь определим, какие из полученных чисел делятся на 5, 2, 10 и 4.

Делятся на 5:
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Этому условию удовлетворяют все числа из пунктов а) (оканчиваются на 5), б) (оканчиваются на 0) и в) (оканчиваются на 5).
Ответ: числа, полученные в пунктах а), б), в).

Делятся на 2:
Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Этому условию удовлетворяют все числа из пунктов б) (оканчиваются на 0) и г) (оканчиваются на 8).
Ответ: числа, полученные в пунктах б), г).

Делятся на 10:
Число делится на 10, если его последняя цифра 0. Этому условию удовлетворяют все числа из пункта б).
Ответ: числа, полученные в пункте б).

Делятся на 4:
Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

• В пункте а) числа оканчиваются на 25. 25 не делится на 4.
• В пункте б) числа оканчиваются на 40. 40 делится на 4 ($40 : 4 = 10$). Значит, все числа из этого пункта делятся на 4.
• В пункте в) числа оканчиваются на `b5`. Любое такое число является нечетным и не может делиться на 4.
• В пункте г) числа оканчиваются на `b8`. Чтобы число делилось на 4, `b8` должно делиться на 4. Это возможно, если $b$ равно 0, 2, 4, 6, 8 (числа 08, 28, 48, 68, 88). Например, число 72108 (где $b=0$) делится на 4, а число 72018 (где $b=1$) не делится.

Ответ: все числа, полученные в пункте б), и некоторые числа из пункта г) (например, 72108, 72228).