Номер 3.56, страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.56. Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме:

а) $2$;

б) $3$;

в) $5$;

г) $2$ и $3$;

д) $2$ и $5$.

Чтобы найти натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме указанных, нужно составлять числа из этих простых делителей, возводя их в различные натуральные степени и перемножая их.

а) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 2. Такие числа являются степенями двойки. Общая формула для таких чисел: $N = 2^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $2^1 = 2$
2. При $n=2$: $2^2 = 4$
3. При $n=3$: $2^3 = 8$
4. При $n=4$: $2^4 = 16$
5. При $n=5$: $2^5 = 32$
Все эти числа (2, 4, 8, 16, 32) в качестве простого делителя имеют только число 2.
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32.

б) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 3. Такие числа являются степенями тройки. Общая формула для таких чисел: $N = 3^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $3^1 = 3$
2. При $n=2$: $3^2 = 9$
3. При $n=3$: $3^3 = 27$
4. При $n=4$: $3^4 = 81$
5. При $n=5$: $3^5 = 243$
Все эти числа (3, 9, 27, 81, 243) в качестве простого делителя имеют только число 3.
Ответ: 3, 9, 27, 81, 243.

в) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 5. Такие числа являются степенями пятерки. Общая формула для таких чисел: $N = 5^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $5^1 = 5$
2. При $n=2$: $5^2 = 25$
3. При $n=3$: $5^3 = 125$
4. При $n=4$: $5^4 = 625$
5. При $n=5$: $5^5 = 3125$
Все эти числа (5, 25, 125, 625, 3125) в качестве простого делителя имеют только число 5.
Ответ: 5, 25, 125, 625, 3125.

г) Требуется найти пять натуральных чисел, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 3. Это означает, что в разложении этих чисел на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 3. Общая формула для таких чисел: $N = 2^a \cdot 3^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, и их сумма $a+b \ge 1$.
Приведем пять примеров, выбирая разные значения для $a$ и $b$:
1. При $a=1, b=1$: $2^1 \cdot 3^1 = 6$
2. При $a=2, b=1$: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$
3. При $a=1, b=2$: $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$
4. При $a=3, b=1$: $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$
5. При $a=2, b=2$: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Простые делители этих чисел принадлежат множеству $\{2, 3\}$.
Ответ: 6, 12, 18, 24, 36.

д) Требуется найти пять натуральных чисел, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 5. Это означает, что в разложении этих чисел на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 5. Общая формула для таких чисел: $N = 2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, и их сумма $a+b \ge 1$.
Приведем пять примеров, выбирая разные значения для $a$ и $b$:
1. При $a=1, b=1$: $2^1 \cdot 5^1 = 10$
2. При $a=2, b=1$: $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$
3. При $a=3, b=1$: $2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$
4. При $a=1, b=2$: $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$
5. При $a=2, b=2$: $2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$
Простые делители этих чисел принадлежат множеству $\{2, 5\}$.
Ответ: 10, 20, 40, 50, 100.