Номер 3.57, страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.57. Найдите все делители числа a:

а) $a=2 \cdot 3 \cdot 5$; б) $a=3 \cdot 5 \cdot 7$; в) $a=3 \cdot 3 \cdot 11$; г) $a=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.

Решение. а)

Число a имеет простые делители: 2, 3 и 5.

Другие делители найдём, составляя различные произведения из этих простых делителей: $2 \cdot 3 = 6$; $2 \cdot 5 = 10$; $3 \cdot 5 = 15$; $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Кроме того, число a делится на 1.

Ответ. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

а) Дано число $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Простыми делителями этого числа являются 2, 3 и 5. Все остальные делители можно найти, составляя различные произведения из этих простых множителей. Кроме того, 1 является делителем любого числа.
Делители, составленные из двух простых множителей: $2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 5 = 10$, $3 \cdot 5 = 15$.
Делитель, составленный из трех простых множителей, равен самому числу: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Таким образом, все делители числа 30 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

б) Дано число $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Простые делители: 3, 5, 7. Другие делители найдем, составляя произведения из этих простых множителей. Не забываем про 1 и само число.
Произведения из двух множителей: $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 7 = 21$, $5 \cdot 7 = 35$.
Произведение из трех множителей: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Все делители числа 105 в порядке возрастания: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

в) Дано число $a = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 99$, или $a = 3^2 \cdot 11$. Его простые делители — 3 и 11. Все делители можно найти как произведения степеней его простых множителей. Делители будут иметь вид $3^k \cdot 11^m$, где $k \in \{0, 1, 2\}$ и $m \in \{0, 1\}$.
Перечислим их: $3^0 \cdot 11^0 = 1$, $3^1 \cdot 11^0 = 3$, $3^2 \cdot 11^0 = 9$, $3^0 \cdot 11^1 = 11$, $3^1 \cdot 11^1 = 33$, $3^2 \cdot 11^1 = 99$.
Все делители числа 99 в порядке возрастания: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

Ответ: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

г) Дано число $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 525$, или $a = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$. Его простые делители — 3, 5 и 7. Делители будут иметь вид $3^k \cdot 5^m \cdot 7^n$, где $k \in \{0, 1\}$, $m \in \{0, 1, 2\}$ и $n \in \{0, 1\}$.
Найдем делители, не содержащие множитель 7 ($n=0$): $1, 3, 5, 3 \cdot 5 = 15, 5^2 = 25, 3 \cdot 5^2 = 75$.
Теперь найдем делители, содержащие множитель 7 ($n=1$), умножив предыдущие на 7: $1 \cdot 7 = 7, 3 \cdot 7 = 21, 5 \cdot 7 = 35, 15 \cdot 7 = 105, 25 \cdot 7 = 175, 75 \cdot 7 = 525$.
Все делители числа 525 в порядке возрастания: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.