Номер 3.47, страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.47. Докажите, что, кроме числа 2, не существует других чётных простых чисел.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями простого и чётного чисел.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Чётное число — это целое число, которое без остатка делится на 2. Любое чётное число $N$ можно представить в виде $N = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим два случая для всех чётных натуральных чисел.

1. Число 2.
Число 2 является чётным, так как $2 = 2 \cdot 1$. Проверим, является ли оно простым. Натуральными делителями числа 2 являются только 1 и 2. Так как у него ровно два делителя, число 2 удовлетворяет определению простого числа. Следовательно, 2 — это чётное простое число.

2. Любое чётное число $N$, большее 2.
Возьмём любое чётное число $N$ такое, что $N > 2$. По определению чётного числа, $N$ делится на 2. Это означает, что число $N$ можно представить в виде произведения $N = 2 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку по условию $N > 2$, то и $2k > 2$, из чего следует, что $k > 1$.

Таким образом, у числа $N$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1 (любое натуральное число делится на 1), 2 (поскольку $N$ — чётное) и само число $N$. Так как $N > 2$, все эти три делителя (1, 2 и $N$) различны.

Согласно определению, простое число должно иметь ровно два делителя. Наличие у числа $N$ как минимум трёх делителей означает, что оно не является простым. Любое чётное число, большее 2, является составным.

Вывод: Мы показали, что число 2 является чётным и простым. Мы также показали, что любое другое чётное число больше 2 является составным. Следовательно, не существует других чётных простых чисел, кроме числа 2.

Ответ: Любое чётное число, кроме 2, можно представить в виде $N = 2k$, где $k$ - целое число больше 1. Это означает, что у такого числа $N$ всегда есть как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Следовательно, по определению простого числа, оно не может быть простым. Число 2 имеет только два делителя, 1 и 2, и поэтому является единственным чётным простым числом.