Номер 3.48, страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.48. Можно ли простое число записать в виде суммы:

а) двух чётных чисел;

б) двух нечётных чисел;

в) чётного и нечётного чисел?

а) двух чётных чисел

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два чётных натуральных числа, которые можно представить в виде $2k$ и $2m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Их сумма равна $2k + 2m = 2(k+m)$.

Результат $2(k+m)$ всегда делится на 2, то есть является чётным числом. Единственное простое число, которое является чётным — это 2. Однако, наименьшая возможная сумма двух положительных чётных чисел — это $2+2=4$. Любая другая сумма двух чётных чисел будет больше 4. Так как любое чётное число, большее 2, является составным (поскольку делится на 2), то записать простое число в виде суммы двух чётных чисел невозможно.

Ответ: нет.

б) двух нечётных чисел

Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Пусть даны два нечётных числа, которые можно представить в виде $2k+1$ и $2m+1$, где $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа. Их сумма равна $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.

Эта сумма всегда является чётным числом. Единственное простое чётное число — это 2. Мы можем получить 2 в сумме, если $2(k+m+1)=2$, что означает $k+m+1=1$, то есть $k+m=0$. Поскольку $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа, это равенство возможно только если $k=0$ и $m=0$. В этом случае исходные нечётные числа равны $1$ и $1$. Их сумма: $1+1=2$. Число 2 является простым. Следовательно, простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел.

Ответ: да.

в) чётного и нечётного чисел

Сумма чётного и нечётного числа всегда является нечётным числом. Пусть даны чётное число $2k$ и нечётное число $2m+1$, где $k$ — натуральное число, а $m$ — неотрицательное целое. Их сумма равна $2k + (2m+1) = 2(k+m) + 1$.

Эта сумма всегда нечётна. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Возьмём любое нечётное простое число $p$. Его всегда можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел. Например, если взять в качестве одного слагаемого наименьшее чётное натуральное число 2, то второе слагаемое будет равно $p-2$. Так как $p$ — нечётное простое число (а значит $p \ge 3$), то $p-2$ будет положительным нечётным числом. Например, $3=2+1$; $5=2+3$; $11=2+9$. Так как мы можем привести пример для любого нечётного простого числа, то простое число можно записать в виде суммы чётного и нечётного чисел.

Ответ: да.