Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.81. Ученик нашёл $ \text{НОД}(33, 198) $ и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

Учитель смог определить ошибку, не проводя вычислений, благодаря основному свойству наибольшего общего делителя (НОД).

По определению, наибольший общий делитель двух чисел (например, $a$ и $b$) — это самое большое число, на которое делятся оба числа ($a$ и $b$) без остатка. Это означает, что НОД должен быть делителем каждого из этих чисел. Любой делитель положительного числа не может быть больше самого этого числа. Следовательно, НОД двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел.

В задаче даны числа 33 и 198. Меньшее из них — 33. Таким образом, их наибольший общий делитель должен удовлетворять условию:

$НОД(33, 198) \le 33$

Ученик получил в ответе число 66. Учитель сразу заметил, что этот результат противоречит свойству НОД, поскольку $66 > 33$. Следовательно, ответ ученика был заведомо неверным.

Ответ: Наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел. Ученик получил ответ 66, который больше, чем одно из чисел (33), поэтому ответ является неверным.

73.02. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:

а) не может быть больше одного из этих чисел;

б) делится на все общие делители этих чисел.

а) Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Их наибольший общий делитель, обозначим его $d = \text{НОД}(a, b)$, является числом, на которое делятся и $a$, и $b$.
По определению делителя, если $d$ делит $a$, то существует такое натуральное число $k$, что $a = d \cdot k$. Так как $a$ и $d$ — натуральные числа, то $k$ также должно быть натуральным числом, то есть $k \ge 1$.
Из этого следует, что $d \le a$.
Аналогично, так как $d$ делит $b$, то существует натуральное число $m$ ($m \ge 1$), такое что $b = d \cdot m$. Отсюда следует, что $d \le b$.
Таким образом, наибольший общий делитель не может быть больше ни одного из чисел, делителем которых он является. Он всегда меньше или равен наименьшему из этих двух чисел.

Ответ: Так как наибольший общий делитель по определению является делителем каждого из данных чисел, а любой делитель натурального числа не может быть больше самого числа, то НОД не может быть больше ни одного из этих чисел.

б) Это одно из фундаментальных свойств наибольшего общего делителя (НОД).
Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. Пусть $c$ — это любой другой общий делитель чисел $a$ и $b$. Это значит, что $a$ делится на $c$ и $b$ делится на $c$. Мы должны доказать, что $d$ тоже делится на $c$.
Согласно тождеству Безу (которое является следствием расширенного алгоритма Евклида), для любых целых чисел $a$ и $b$ существуют такие целые числа $x$ и $y$, что выполняется равенство:
$d = a \cdot x + b \cdot y$
Поскольку $c$ является общим делителем $a$ и $b$, мы можем записать $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.
Подставим эти выражения в тождество Безу:
$d = (c \cdot k) \cdot x + (c \cdot m) \cdot y$
Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$d = c \cdot (k \cdot x + m \cdot y)$
Так как $k, x, m, y$ — целые числа, то их произведение и сумма $(k \cdot x + m \cdot y)$ также являются целым числом. Обозначим это целое число как $q$.
Тогда мы получаем $d = c \cdot q$.
Это равенство по определению означает, что $d$ делится на $c$ без остатка.
Поскольку мы выбрали $c$ как произвольный общий делитель, это доказывает, что наибольший общий делитель делится на все общие делители данных чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель делится на любой другой общий делитель этих чисел, так как НОД может быть представлен в виде линейной комбинации этих чисел ($d = ax + by$), а любой их общий делитель будет также делить и эту линейную комбинацию.

3.83. Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители. Найдите НОД($a$, $b$).

а) $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7^2$;

$b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7$;

б) $a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^3$,

$b = 2 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 19^2$.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

а)

Даны разложения чисел:

$a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^2$

$b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1$

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2, 3, 5 и 7.
Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2: наименьшая степень это 2 (из разложения числа b: $2^2$).
• Для множителя 3: наименьшая степень это 4 (из разложения числа a: $3^4$).
• Для множителя 5: наименьшая степень это 1 (из разложения числа a: $5^1$).
• Для множителя 7: наименьшая степень это 1 (из разложения числа b: $7^1$).

Теперь перемножим эти множители в найденных степенях:
$НОД(a, b) = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 81 \cdot 5 \cdot 7 = 11340$.

Ответ: $11340$.

б)

Даны разложения чисел:

$a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^3$

$b = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1 \cdot 19^2$

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 5. Множители 3 и 11 присутствуют только в разложении числа a, а множители 7 и 19 — только в разложении числа b.
Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений:

• Для множителя 2: наименьшая степень это 1 (из разложения числа b: $2^1$).
• Для множителя 5: наименьшая степень это 2 (из разложения числа a: $5^2$).

Перемножим эти множители:
$НОД(a, b) = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.

Ответ: $50$.

3.84. Найдите:

а) $НОД (1, 48)$;

б) $НОД (15, 55)$;

в) $НОД (182, 82)$;

г) $НОД (100, 25)$;

д) $НОД (1000, 125)$;

е) $НОД (121, 11)$.

а) Требуется найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 1 и 48.

Делителями числа 1 является только оно само. Делителями числа 48 являются 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Единственным общим делителем является 1. По определению, наибольший общий делитель двух чисел, одним из которых является 1, всегда равен 1.

Ответ: 1

б) Найдем НОД для чисел 15 и 55. Для этого разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.

Разложение числа 55: $55 = 5 \cdot 11$.

Общим множителем в разложениях обоих чисел является 5. Это и есть их наибольший общий делитель.

Ответ: 5

в) Найдем НОД для чисел 182 и 82. Разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 182: $182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложение числа 82: $82 = 2 \cdot 41$.

Общим множителем в разложениях является 2. Следовательно, это их наибольший общий делитель.

Ответ: 2

г) Найдем НОД для чисел 100 и 25.

Можно заметить, что 100 делится на 25 нацело: $100 \div 25 = 4$.

По свойству НОД, если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел. В данном случае, НОД(100, 25) = 25.

Ответ: 25

д) Найдем НОД для чисел 1000 и 125.

Аналогично предыдущему пункту, проверим, делится ли большее число на меньшее: $1000 \div 125 = 8$.

Так как 1000 делится на 125, их наибольший общий делитель равен 125.

Ответ: 125

е) Найдем НОД для чисел 121 и 11.

Число 121 является квадратом числа 11: $121 = 11 \cdot 11$. Следовательно, 121 делится на 11 нацело.

Поэтому наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них, то есть 11.

Ответ: 11

3.85. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде?

По условию задачи, и девочек, и мальчиков нужно разделить на команды с одинаковым числом участников. Это означает, что число участников в команде должно быть общим делителем для числа девочек (36) и числа мальчиков (24). Чтобы найти наибольшее возможное число участников, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих чисел.

Разложим числа 36 и 24 на простые множители:

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

Чтобы найти НОД, нужно взять общие простые множители с наименьшей степенью и перемножить их:

$НОД(36, 24) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Следовательно, наибольшее число участников, которое может быть в каждой команде, — 12.

Ответ: 12 участников.

Сколько команд получится?

Теперь, зная, что в каждой команде будет по 12 человек, рассчитаем количество команд для девочек и мальчиков.

Количество команд девочек: $36 \div 12 = 3$ команды.

Количество команд мальчиков: $24 \div 12 = 2$ команды.

Общее количество команд: $3 + 2 = 5$ команд.

Ответ: 5 команд.

3.86. Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?

Для того чтобы все мандарины и яблоки можно было разложить по подаркам так, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество мандаринов и одинаковое количество яблок, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 184 (количество мандаринов) и 138 (количество яблок). Это число и будет наибольшим возможным количеством подарков.

Для этого разложим оба числа на простые множители.

Разложим на множители число 184:
$184 = 2 \cdot 92 = 2 \cdot 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^3 \cdot 23$.

Разложим на множители число 138:
$138 = 2 \cdot 69 = 2 \cdot 3 \cdot 23$.

Теперь найдем наибольший общий делитель. Для этого нужно взять общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения.

Общими множителями для чисел 184 и 138 являются 2 и 23.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^1$.
Наименьшая степень для множителя 23 - это $23^1$.

Следовательно, НОД$(184, 138) = 2 \cdot 23 = 46$.

Таким образом, можно составить 46 одинаковых подарков. В каждом подарке будет $184 \div 46 = 4$ мандарина и $138 \div 46 = 3$ яблока.

Ответ: 46.