Страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.94. Являются ли взаимно простыми числа:

а) 12 и 25;

б) 40 и 39;

в) 55 и 42;

г) 22 и 51;

д) 48 и 49;

е) 39 и 50;

ж) 17 и 48;

з) 11 и 45;

и) 13 и 50?

Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если числа являются взаимно простыми, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению.

а) 12 и 25

Разложим числа на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $25 = 5^2$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(12, 25) = 12 \cdot 25 = 300$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 300.

б) 40 и 39

Два последовательных натуральных числа (как 39 и 40) всегда являются взаимно простыми, так как их единственный общий положительный делитель — это 1. Следовательно, $НОД(40, 39) = 1$.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(40, 39) = 40 \cdot 39 = 1560$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1560.

в) 55 и 42

Разложим числа на простые множители: $55 = 5 \cdot 11$ и $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(55, 42) = 55 \cdot 42 = 2310$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 2310.

г) 22 и 51

Разложим числа на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$ и $51 = 3 \cdot 17$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(22, 51) = 22 \cdot 51 = 1122$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1122.

д) 48 и 49

Два последовательных натуральных числа (как 48 и 49) всегда являются взаимно простыми. Следовательно, $НОД(48, 49) = 1$.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(48, 49) = 48 \cdot 49 = 2352$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 2352.

е) 39 и 50

Разложим числа на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$ и $50 = 2 \cdot 5^2$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(39, 50) = 39 \cdot 50 = 1950$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1950.

ж) 17 и 48

Число 17 является простым. Число 48 не делится на 17 нацело ($48 = 17 \cdot 2 + 14$). Так как 17 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(17, 48) = 17 \cdot 48 = 816$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 816.

з) 11 и 45

Число 11 является простым. Число 45 не делится на 11 нацело ($45 = 11 \cdot 4 + 1$). Так как 11 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(11, 45) = 11 \cdot 45 = 495$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 495.

и) 13 и 50

Число 13 является простым. Число 50 не делится на 13 нацело ($50 = 13 \cdot 3 + 11$). Так как 13 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(13, 50) = 13 \cdot 50 = 650$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 650.

3.95. Найдите:

а) $\text{НОК} (4, 5)$;

б) $\text{НОК} (3, 11)$;

в) $\text{НОК} (7, 8)$;

г) $\text{НОК} (9, 10)$;

д) $\text{НОК} (5, 13)$;

е) $\text{НОК} (17, 3)$;

ж) $\text{НОК} (13, 11)$;

з) $\text{НОК} (10, 11)$;

и) $\text{НОК} (19, 20)$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее натуральное число, которое делится на оба этих числа без остатка. Для нахождения НОК можно использовать разложение чисел на простые множители.

Если числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих простых делителей (их наибольший общий делитель равен 1), то их НОК равно их произведению. Все пары чисел в данном задании являются взаимно простыми.

а) Найдём НОК(4, 5). Разложим числа на простые множители: $4 = 2^2$; 5 – простое число. У чисел 4 и 5 нет общих простых делителей, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(4, 5) = $4 \cdot 5 = 20$. Ответ: 20.

б) Найдём НОК(3, 11). Числа 3 и 11 являются простыми, а значит, и взаимно простыми. Их НОК равно их произведению: НОК(3, 11) = $3 \cdot 11 = 33$. Ответ: 33.

в) Найдём НОК(7, 8). Число 7 – простое. Разложение числа 8 на простые множители: $8 = 2^3$. Общих простых делителей у чисел нет, следовательно, они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(7, 8) = $7 \cdot 8 = 56$. Ответ: 56.

г) Найдём НОК(9, 10). Разложим числа на простые множители: $9 = 3^2$; $10 = 2 \cdot 5$. Общих простых делителей у них нет, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(9, 10) = $9 \cdot 10 = 90$. Ответ: 90.

д) Найдём НОК(5, 13). Числа 5 и 13 являются простыми, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(5, 13) = $5 \cdot 13 = 65$. Ответ: 65.

е) Найдём НОК(17, 3). Числа 17 и 3 являются простыми, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(17, 3) = $17 \cdot 3 = 51$. Ответ: 51.

ж) Найдём НОК(13, 11). Числа 13 и 11 являются простыми, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(13, 11) = $13 \cdot 11 = 143$. Ответ: 143.

з) Найдём НОК(10, 11). Число 11 – простое. Разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Общих простых делителей нет, числа взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(10, 11) = $10 \cdot 11 = 110$. Ответ: 110.

и) Найдём НОК(19, 20). Число 19 – простое. Разложение числа 20 на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$. Общих простых делителей нет, числа взаимно простые. Их НОК равно их произведению: НОК(19, 20) = $19 \cdot 20 = 380$. Ответ: 380.

3.96. Напишите пять пар чисел $a$ и $b$, чтобы НОК $(a, b) = a$.

Для того чтобы наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ было равно $a$, то есть $НОК(a, b) = a$, необходимо и достаточно, чтобы число $a$ было кратно числу $b$.

Это следует из определения НОК: наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело и на $a$, и на $b$. Так как $a$ всегда делится на $a$, условие $НОК(a, b) = a$ будет выполняться только тогда, когда $a$ также делится и на $b$. Математически это можно записать как $a \vdots b$.

Таким образом, для нахождения искомых пар чисел достаточно выбрать любое натуральное число $b$, а в качестве числа $a$ взять любое число, кратное $b$.

Приведем пять примеров таких пар:

Пара 1
Пусть $b = 3$. Выберем в качестве $a$ любое число, кратное 3, например, $a = 12$.
Проверяем: $a$ делится на $b$, так как $12 : 3 = 4$.
Следовательно, $НОК(12, 3) = 12$.
Ответ: $a=12, b=3$.

Пара 2
Пусть $b = 5$. Выберем в качестве $a$ любое число, кратное 5, например, $a = 20$.
Проверяем: $a$ делится на $b$, так как $20 : 5 = 4$.
Следовательно, $НОК(20, 5) = 20$.
Ответ: $a=20, b=5$.

Пара 3
Пусть $b = 8$. Выберем в качестве $a$ любое число, кратное 8, например, $a = 24$.
Проверяем: $a$ делится на $b$, так как $24 : 8 = 3$.
Следовательно, $НОК(24, 8) = 24$.
Ответ: $a=24, b=8$.

Пара 4
Рассмотрим случай, когда числа равны. Пусть $a = 7$ и $b = 7$.
Проверяем: любое число делится само на себя, $7 : 7 = 1$.
Следовательно, $НОК(7, 7) = 7$.
Ответ: $a=7, b=7$.

Пара 5
Рассмотрим случай, когда $b=1$. Любое натуральное число $a$ делится на 1. Пусть $a = 15$ и $b = 1$.
Проверяем: $a$ делится на $b$, так как $15 : 1 = 15$.
Следовательно, $НОК(15, 1) = 15$.
Ответ: $a=15, b=1$.

3.97. Найдите:

a) $НОК (36, 48);$

б) $НОК (49, 50);$

в) $НОК (14, 15);$

г) $НОК (99, 100);$

д) $НОК (28, 21);$

е) $НОК (24, 23).$

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36 и 48, разложим их на простые множители.

Разложение числа 36 на простые множители: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.

Разложение числа 48 на простые множители: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$.

Для нахождения НОК, выпишем все простые множители, входящие в разложения, и возьмем каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается: $2^4$ и $3^2$.

Перемножим эти степени: НОК(36, 48) = $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

б) Найдем НОК чисел 49 и 50. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 49: $49 = 7^2$.

Разложение числа 50: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$.

Данные числа не имеют общих простых множителей, следовательно, они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(49, 50) = $49 \cdot 50 = 2450$.

Ответ: 2450

в) Найдем НОК чисел 14 и 15.

Числа 14 и 15 являются последовательными целыми числами. Любые два последовательных целых числа всегда взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1.

Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.

НОК(14, 15) = $14 \cdot 15 = 210$.

Это также можно проверить, разложив числа на множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(14, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

Ответ: 210

г) Найдем НОК чисел 99 и 100.

Числа 99 и 100 являются последовательными, а значит, взаимно простыми.

Их наименьшее общее кратное равно их произведению.

НОК(99, 100) = $99 \cdot 100 = 9900$.

Проверка через разложение на множители:

$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$

$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$

НОК(99, 100) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 = 100 \cdot 99 = 9900$.

Ответ: 9900

д) Найдем НОК чисел 28 и 21. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 28: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^2$, $3^1$ и $7^1$.

Перемножим их: НОК(28, 21) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

е) Найдем НОК чисел 24 и 23.

Число 23 является простым числом. Число 24 не делится на 23 без остатка. Следовательно, числа 24 и 23 являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(24, 23) = $24 \cdot 23 = 552$.

Ответ: 552

3.98. Найдите:

а) $НОК (19, 10);$

б) $НОК (11, 110);$

в) $НОК (26, 52);$

г) $НОК (11, 23);$

д) $НОК (88, 66);$

е) $НОК (198, 9).$

а) Чтобы найти Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 19 и 10, определим их свойства. Число 19 — простое. Числа 19 и 10 не имеют общих делителей, кроме 1, следовательно, они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

$НОК(19, 10) = 19 \cdot 10 = 190$.

Ответ: 190

б) Чтобы найти НОК для чисел 11 и 110, проверим, делится ли большее число на меньшее. Видно, что $110 = 11 \cdot 10$. Так как 110 кратно 11, наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.

$НОК(11, 110) = 110$.

Ответ: 110

в) Для нахождения НОК чисел 26 и 52, заметим, что 52 делится на 26 без остатка: $52 \div 26 = 2$. Согласно правилу, если одно число кратно другому, их НОК равно большему из этих чисел.

$НОК(26, 52) = 52$.

Ответ: 52

г) Числа 11 и 23 являются простыми. Два различных простых числа всегда взаимно простые. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

$НОК(11, 23) = 11 \cdot 23 = 253$.

Ответ: 253

д) Для нахождения НОК чисел 88 и 66 используем метод разложения на простые множители. Сначала разложим каждое число на простые множители:

$88 = 8 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$

$66 = 6 \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

Теперь, чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени. Это множители $2^3$, $3^1$ и $11^1$.

Вычисляем их произведение: $НОК(88, 66) = 2^3 \cdot 3 \cdot 11 = 8 \cdot 3 \cdot 11 = 264$.

Ответ: 264

е) Чтобы найти НОК для 198 и 9, проверим, является ли 198 кратным 9. Используем признак делимости на 9: сумма цифр числа 198 равна $1 + 9 + 8 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 198 делится на 9. Поскольку одно число кратно другому, их НОК равно большему из чисел.

$НОК(198, 9) = 198$.

Ответ: 198

3.99. Ученица нашла $\text{НОК} (33, 198)$ и получила $99$. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

Учитель определил ошибку, не проверяя вычисления, так как результат ученицы противоречит основному свойству наименьшего общего кратного (НОК).

По определению, НОК двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Из этого следует, что НОК двух чисел не может быть меньше большего из этих чисел.

В данном случае ищется НОК чисел 33 и 198. Большее из этих чисел — 198. Следовательно, их НОК должно быть не меньше 198.

$НОК(33, 198) \ge 198$

Ученица получила ответ 99. Учитель сразу заметил, что $99 < 198$, что является невозможным.

Кроме того, НОК(33, 198) должно без остатка делиться и на 33, и на 198. Число 99 не делится на 198, поэтому оно не может быть общим кратным этих чисел.

Ответ: Учитель определил, что ответ неверный, потому что наименьшее общее кратное двух чисел (в данном случае 33 и 198) не может быть меньше большего из них (198). Ответ ученицы, 99, не удовлетворяет этому условию.

3.100. Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

б) делится на все делители этих чисел.

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится на $a$ и на $b$ без остатка. Обозначим НОК($a, b$) как $M$.

Раз $M$ делится на $a$, значит, $M$ является кратным числу $a$. Это можно записать в виде формулы: $M = k \cdot a$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$). Поскольку $k \ge 1$ и $a > 0$, то произведение $k \cdot a$ будет не меньше, чем $a$. То есть, $M \ge a$.

Аналогично, раз $M$ делится на $b$, значит, $M$ является кратным числу $b$. Это можно записать как $M = n \cdot b$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Поскольку $n \ge 1$ и $b > 0$, то произведение $n \cdot b$ будет не меньше, чем $b$. То есть, $M \ge b$.

Таким образом, наименьшее общее кратное $M$ не может быть меньше ни одного из чисел $a$ или $b$, оно всегда больше или равно каждому из них.

Ответ: Наименьшее общее кратное является кратным для каждого из данных чисел, а кратное натурального числа не может быть меньше самого этого числа.

б) делится на все делители этих чисел.

Пусть $M$ — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$. По определению, $M$ делится и на $a$, и на $b$.

Возьмем любое число $d$, которое является делителем числа $a$. Это означает, что число $a$ делится на $d$ без остатка. Мы знаем два факта: во-первых, $M$ делится на $a$, и, во-вторых, $a$ делится на $d$. Из этих двух фактов следует, что $M$ также делится на $d$. Это свойство называется транзитивностью делимости: если одно число делится на второе, а второе — на третье, то первое число делится на третье.

Формально: если $M = k \cdot a$ и $a = n \cdot d$ (где $k, n$ - целые числа), то, подставив второе выражение в первое, получим $M = k \cdot (n \cdot d) = (k \cdot n) \cdot d$. Так как произведение $k \cdot n$ является целым числом, это доказывает, что $M$ делится на $d$.

То же самое рассуждение применимо к любому делителю числа $b$. Если $d'$ — делитель $b$, то так как $M$ делится на $b$, а $b$ делится на $d'$, то $M$ будет делиться и на $d'$.

Таким образом, НОК двух чисел делится на все делители каждого из этих чисел.

Ответ: Наименьшее общее кратное делится на каждое из данных чисел, а так как делимость транзитивна, оно делится и на все делители этих чисел.

3.101. Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители, найдите НОД $(a, b)$ и НОК $(a, b)$.

a) $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5,$

$b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2;$

б) $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2,$

$b = 3^2 \cdot 5^3.$

(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)

а)

Даны разложения чисел: $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$ и $b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Нахождение НОД(a, b) (Наибольшего Общего Делителя):
Чтобы найти НОД, нужно составить произведение из общих для обоих чисел простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим из имеющихся показателей степени.
Общие простые множители: 2, 3, 5.
- Для множителя 2 наименьшая степень равна $3$ (сравниваем $2^3$ и $2^4$). - Для множителя 3 наименьшая степень равна $4$ (сравниваем $3^4$ и $3^5$). - Для множителя 5 наименьшая степень равна $1$ (сравниваем $5^1$ и $5^2$).
Таким образом, НОД(a, b) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$.

Нахождение НОК(a, b) (Наименьшего Общего Кратного):
Чтобы найти НОК, нужно составить произведение из всех простых множителей, которые есть в разложениях обоих чисел, взяв каждый из них с наибольшим из имеющихся показателей степени.
Простые множители: 2, 3, 5.
- Для множителя 2 наибольшая степень равна $4$ (сравниваем $2^3$ и $2^4$). - Для множителя 3 наибольшая степень равна $5$ (сравниваем $3^4$ и $3^5$). - Для множителя 5 наибольшая степень равна $2$ (сравниваем $5^1$ и $5^2$).
Таким образом, НОК(a, b) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Ответ: НОД(a, b) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$; НОК(a, b) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

б)

Даны разложения чисел: $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ и $b = 3^2 \cdot 5^3$.

Нахождение НОД(a, b):
Находим общие простые множители и берем их с наименьшими степенями. Общими множителями являются 3 и 5.
- Для множителя 3 наименьшая степень равна $2$ (сравниваем $3^3$ и $3^2$). - Для множителя 5 наименьшая степень равна $2$ (сравниваем $5^2$ и $5^3$).
Множитель 2 не является общим, поэтому он не входит в НОД.
Таким образом, НОД(a, b) = $3^2 \cdot 5^2$.

Нахождение НОК(a, b):
Берем все простые множители из обоих разложений (2, 3 и 5) с наибольшими степенями.
- Для множителя 2 наибольшая степень равна $2$ (он есть только в разложении числа $a$). - Для множителя 3 наибольшая степень равна $3$ (сравниваем $3^3$ и $3^2$). - Для множителя 5 наибольшая степень равна $3$ (сравниваем $5^2$ и $5^3$).
Таким образом, НОК(a, b) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

Ответ: НОД(a, b) = $3^2 \cdot 5^2$; НОК(a, b) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

3.102. Убедитесь, что $\text{НОД}(36, 24) \cdot \text{НОК}(36, 24) = 36 \cdot 24$. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Убедитесь, что НОД(36, 24) ⋅ НОК(36, 24) = 36 ⋅ 24

Для проверки равенства необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36 и 24. Для этого разложим данные числа на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^3 \cdot 3^1$

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени:

НОД(36, 24) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители из обоих разложений, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени:

НОК(36, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Теперь подставим найденные значения в исходное равенство и проверим его верность.

Левая часть равенства:

НОД(36, 24) ⋅ НОК(36, 24) = $12 \cdot 72 = 864$.

Правая часть равенства:

$36 \cdot 24 = 864$.

Поскольку левая и правая части равенства равны ($864 = 864$), тождество доказано.

Ответ: Равенство НОД(36, 24) ⋅ НОК(36, 24) = 36 ⋅ 24 является верным, так как обе части равны 864.

Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Да, это свойство является фундаментальным в теории чисел и выполняется для любой пары натуральных чисел. Оно утверждает, что произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел всегда равно произведению самих этих чисел.

В общем виде это свойство записывается формулой:

НОД($a, b$) ⋅ НОК($a, b$) = $a \cdot b$

где $a$ и $b$ — любые два натуральных числа.

Ответ: Да, это свойство выполняется для любых других пар натуральных чисел.

3.103. Докажите, что $ \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b $:

а) для взаимно простых чисел;

б) для любых чисел.

а) для взаимно простых чисел

По определению, два натуральных числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) равен 1.

Таким образом, для взаимно простых чисел $a$ и $b$ имеем: $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Наименьшее общее кратное ($\text{НОК}$) двух взаимно простых чисел равно их произведению. Это следует из того, что у таких чисел нет общих простых множителей. Чтобы число делилось и на $a$, и на $b$, оно должно содержать все простые множители из разложения $a$ и все простые множители из разложения $b$. Так как общих множителей нет, наименьшее такое число будет равно их произведению.

Следовательно, $\text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Теперь подставим значения $\text{НОД}$ и $\text{НОК}$ в доказываемое равенство:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = 1 \cdot (a \cdot b) = a \cdot b$.

Равенство $a \cdot b = a \cdot b$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) для любых чисел

Докажем это свойство для любых натуральных чисел $a$ и $b$ с помощью разложения на простые множители. Пусть каноническое разложение чисел $a$ и $b$ на простые множители имеет вид:

$a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$

$b = p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k}$

где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ – все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$, а показатели степени $\alpha_i$ и $\beta_i$ – целые неотрицательные числа (если какой-то множитель отсутствует в разложении, его показатель степени равен 0).

По определению, наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) и наименьшее общее кратное ($\text{НОК}$) находятся по формулам:

$\text{НОД}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}$

$\text{НОК}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}$

Найдем произведение $\text{НОД}$ и $\text{НОК}$:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = (p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}) \cdot (p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)})$

Сгруппировав множители с одинаковыми основаниями, получим:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1) + \max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k) + \max(\alpha_k, \beta_k)}$

Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к показателям степеней:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot p_2^{\alpha_2 + \beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}$

Теперь найдем произведение чисел $a$ и $b$:

$a \cdot b = (p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}) \cdot (p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k})$

$a \cdot b = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot p_2^{\alpha_2 + \beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}$

Сравнивая полученные выражения для $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b)$ и $a \cdot b$, мы видим, что они идентичны. Таким образом, равенство доказано для любых натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано.