Номер 3.97, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.97. Найдите:

a) $НОК (36, 48);$

б) $НОК (49, 50);$

в) $НОК (14, 15);$

г) $НОК (99, 100);$

д) $НОК (28, 21);$

е) $НОК (24, 23).$

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36 и 48, разложим их на простые множители.

Разложение числа 36 на простые множители: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.

Разложение числа 48 на простые множители: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$.

Для нахождения НОК, выпишем все простые множители, входящие в разложения, и возьмем каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается: $2^4$ и $3^2$.

Перемножим эти степени: НОК(36, 48) = $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

б) Найдем НОК чисел 49 и 50. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 49: $49 = 7^2$.

Разложение числа 50: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$.

Данные числа не имеют общих простых множителей, следовательно, они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(49, 50) = $49 \cdot 50 = 2450$.

Ответ: 2450

в) Найдем НОК чисел 14 и 15.

Числа 14 и 15 являются последовательными целыми числами. Любые два последовательных целых числа всегда взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1.

Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.

НОК(14, 15) = $14 \cdot 15 = 210$.

Это также можно проверить, разложив числа на множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(14, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

Ответ: 210

г) Найдем НОК чисел 99 и 100.

Числа 99 и 100 являются последовательными, а значит, взаимно простыми.

Их наименьшее общее кратное равно их произведению.

НОК(99, 100) = $99 \cdot 100 = 9900$.

Проверка через разложение на множители:

$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$

$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$

НОК(99, 100) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 = 100 \cdot 99 = 9900$.

Ответ: 9900

д) Найдем НОК чисел 28 и 21. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 28: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^2$, $3^1$ и $7^1$.

Перемножим их: НОК(28, 21) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

е) Найдем НОК чисел 24 и 23.

Число 23 является простым числом. Число 24 не делится на 23 без остатка. Следовательно, числа 24 и 23 являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(24, 23) = $24 \cdot 23 = 552$.

Ответ: 552