Номер 3.94, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.94. Являются ли взаимно простыми числа:

а) 12 и 25;

б) 40 и 39;

в) 55 и 42;

г) 22 и 51;

д) 48 и 49;

е) 39 и 50;

ж) 17 и 48;

з) 11 и 45;

и) 13 и 50?

Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если числа являются взаимно простыми, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению.

а) 12 и 25

Разложим числа на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $25 = 5^2$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(12, 25) = 12 \cdot 25 = 300$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 300.

б) 40 и 39

Два последовательных натуральных числа (как 39 и 40) всегда являются взаимно простыми, так как их единственный общий положительный делитель — это 1. Следовательно, $НОД(40, 39) = 1$.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(40, 39) = 40 \cdot 39 = 1560$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1560.

в) 55 и 42

Разложим числа на простые множители: $55 = 5 \cdot 11$ и $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(55, 42) = 55 \cdot 42 = 2310$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 2310.

г) 22 и 51

Разложим числа на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$ и $51 = 3 \cdot 17$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(22, 51) = 22 \cdot 51 = 1122$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1122.

д) 48 и 49

Два последовательных натуральных числа (как 48 и 49) всегда являются взаимно простыми. Следовательно, $НОД(48, 49) = 1$.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(48, 49) = 48 \cdot 49 = 2352$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 2352.

е) 39 и 50

Разложим числа на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$ и $50 = 2 \cdot 5^2$.

Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(39, 50) = 39 \cdot 50 = 1950$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 1950.

ж) 17 и 48

Число 17 является простым. Число 48 не делится на 17 нацело ($48 = 17 \cdot 2 + 14$). Так как 17 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(17, 48) = 17 \cdot 48 = 816$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 816.

з) 11 и 45

Число 11 является простым. Число 45 не делится на 11 нацело ($45 = 11 \cdot 4 + 1$). Так как 11 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(11, 45) = 11 \cdot 45 = 495$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 495.

и) 13 и 50

Число 13 является простым. Число 50 не делится на 13 нацело ($50 = 13 \cdot 3 + 11$). Так как 13 — простое число, единственный общий делитель этих чисел — 1. Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(13, 50) = 13 \cdot 50 = 650$.

Ответ: Да, являются взаимно простыми. НОК = 650.