Номер 3.101, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.101. Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители, найдите НОД $(a, b)$ и НОК $(a, b)$.

a) $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5,$

$b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2;$

б) $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2,$

$b = 3^2 \cdot 5^3.$

(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)

а)

Даны разложения чисел: $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$ и $b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Нахождение НОД(a, b) (Наибольшего Общего Делителя):
Чтобы найти НОД, нужно составить произведение из общих для обоих чисел простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим из имеющихся показателей степени.
Общие простые множители: 2, 3, 5.
- Для множителя 2 наименьшая степень равна $3$ (сравниваем $2^3$ и $2^4$). - Для множителя 3 наименьшая степень равна $4$ (сравниваем $3^4$ и $3^5$). - Для множителя 5 наименьшая степень равна $1$ (сравниваем $5^1$ и $5^2$).
Таким образом, НОД(a, b) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$.

Нахождение НОК(a, b) (Наименьшего Общего Кратного):
Чтобы найти НОК, нужно составить произведение из всех простых множителей, которые есть в разложениях обоих чисел, взяв каждый из них с наибольшим из имеющихся показателей степени.
Простые множители: 2, 3, 5.
- Для множителя 2 наибольшая степень равна $4$ (сравниваем $2^3$ и $2^4$). - Для множителя 3 наибольшая степень равна $5$ (сравниваем $3^4$ и $3^5$). - Для множителя 5 наибольшая степень равна $2$ (сравниваем $5^1$ и $5^2$).
Таким образом, НОК(a, b) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Ответ: НОД(a, b) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$; НОК(a, b) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

б)

Даны разложения чисел: $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ и $b = 3^2 \cdot 5^3$.

Нахождение НОД(a, b):
Находим общие простые множители и берем их с наименьшими степенями. Общими множителями являются 3 и 5.
- Для множителя 3 наименьшая степень равна $2$ (сравниваем $3^3$ и $3^2$). - Для множителя 5 наименьшая степень равна $2$ (сравниваем $5^2$ и $5^3$).
Множитель 2 не является общим, поэтому он не входит в НОД.
Таким образом, НОД(a, b) = $3^2 \cdot 5^2$.

Нахождение НОК(a, b):
Берем все простые множители из обоих разложений (2, 3 и 5) с наибольшими степенями.
- Для множителя 2 наибольшая степень равна $2$ (он есть только в разложении числа $a$). - Для множителя 3 наибольшая степень равна $3$ (сравниваем $3^3$ и $3^2$). - Для множителя 5 наибольшая степень равна $3$ (сравниваем $5^2$ и $5^3$).
Таким образом, НОК(a, b) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

Ответ: НОД(a, b) = $3^2 \cdot 5^2$; НОК(a, b) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.