Номер 3.103, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.103. Докажите, что $ \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b $:

а) для взаимно простых чисел;

б) для любых чисел.

а) для взаимно простых чисел

По определению, два натуральных числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) равен 1.

Таким образом, для взаимно простых чисел $a$ и $b$ имеем: $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Наименьшее общее кратное ($\text{НОК}$) двух взаимно простых чисел равно их произведению. Это следует из того, что у таких чисел нет общих простых множителей. Чтобы число делилось и на $a$, и на $b$, оно должно содержать все простые множители из разложения $a$ и все простые множители из разложения $b$. Так как общих множителей нет, наименьшее такое число будет равно их произведению.

Следовательно, $\text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Теперь подставим значения $\text{НОД}$ и $\text{НОК}$ в доказываемое равенство:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = 1 \cdot (a \cdot b) = a \cdot b$.

Равенство $a \cdot b = a \cdot b$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) для любых чисел

Докажем это свойство для любых натуральных чисел $a$ и $b$ с помощью разложения на простые множители. Пусть каноническое разложение чисел $a$ и $b$ на простые множители имеет вид:

$a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$

$b = p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k}$

где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ – все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$, а показатели степени $\alpha_i$ и $\beta_i$ – целые неотрицательные числа (если какой-то множитель отсутствует в разложении, его показатель степени равен 0).

По определению, наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) и наименьшее общее кратное ($\text{НОК}$) находятся по формулам:

$\text{НОД}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}$

$\text{НОК}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}$

Найдем произведение $\text{НОД}$ и $\text{НОК}$:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = (p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}) \cdot (p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)})$

Сгруппировав множители с одинаковыми основаниями, получим:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1) + \max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k) + \max(\alpha_k, \beta_k)}$

Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к показателям степеней:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot p_2^{\alpha_2 + \beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}$

Теперь найдем произведение чисел $a$ и $b$:

$a \cdot b = (p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}) \cdot (p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k})$

$a \cdot b = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot p_2^{\alpha_2 + \beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}$

Сравнивая полученные выражения для $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b)$ и $a \cdot b$, мы видим, что они идентичны. Таким образом, равенство доказано для любых натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано.