Номер 3.100, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.100. Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

б) делится на все делители этих чисел.

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится на $a$ и на $b$ без остатка. Обозначим НОК($a, b$) как $M$.

Раз $M$ делится на $a$, значит, $M$ является кратным числу $a$. Это можно записать в виде формулы: $M = k \cdot a$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$). Поскольку $k \ge 1$ и $a > 0$, то произведение $k \cdot a$ будет не меньше, чем $a$. То есть, $M \ge a$.

Аналогично, раз $M$ делится на $b$, значит, $M$ является кратным числу $b$. Это можно записать как $M = n \cdot b$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Поскольку $n \ge 1$ и $b > 0$, то произведение $n \cdot b$ будет не меньше, чем $b$. То есть, $M \ge b$.

Таким образом, наименьшее общее кратное $M$ не может быть меньше ни одного из чисел $a$ или $b$, оно всегда больше или равно каждому из них.

Ответ: Наименьшее общее кратное является кратным для каждого из данных чисел, а кратное натурального числа не может быть меньше самого этого числа.

б) делится на все делители этих чисел.

Пусть $M$ — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$. По определению, $M$ делится и на $a$, и на $b$.

Возьмем любое число $d$, которое является делителем числа $a$. Это означает, что число $a$ делится на $d$ без остатка. Мы знаем два факта: во-первых, $M$ делится на $a$, и, во-вторых, $a$ делится на $d$. Из этих двух фактов следует, что $M$ также делится на $d$. Это свойство называется транзитивностью делимости: если одно число делится на второе, а второе — на третье, то первое число делится на третье.

Формально: если $M = k \cdot a$ и $a = n \cdot d$ (где $k, n$ - целые числа), то, подставив второе выражение в первое, получим $M = k \cdot (n \cdot d) = (k \cdot n) \cdot d$. Так как произведение $k \cdot n$ является целым числом, это доказывает, что $M$ делится на $d$.

То же самое рассуждение применимо к любому делителю числа $b$. Если $d'$ — делитель $b$, то так как $M$ делится на $b$, а $b$ делится на $d'$, то $M$ будет делиться и на $d'$.

Таким образом, НОК двух чисел делится на все делители каждого из этих чисел.

Ответ: Наименьшее общее кратное делится на каждое из данных чисел, а так как делимость транзитивна, оно делится и на все делители этих чисел.