Номер 3.82, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

73.02. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:

а) не может быть больше одного из этих чисел;

б) делится на все общие делители этих чисел.

а) Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Их наибольший общий делитель, обозначим его $d = \text{НОД}(a, b)$, является числом, на которое делятся и $a$, и $b$.
По определению делителя, если $d$ делит $a$, то существует такое натуральное число $k$, что $a = d \cdot k$. Так как $a$ и $d$ — натуральные числа, то $k$ также должно быть натуральным числом, то есть $k \ge 1$.
Из этого следует, что $d \le a$.
Аналогично, так как $d$ делит $b$, то существует натуральное число $m$ ($m \ge 1$), такое что $b = d \cdot m$. Отсюда следует, что $d \le b$.
Таким образом, наибольший общий делитель не может быть больше ни одного из чисел, делителем которых он является. Он всегда меньше или равен наименьшему из этих двух чисел.

Ответ: Так как наибольший общий делитель по определению является делителем каждого из данных чисел, а любой делитель натурального числа не может быть больше самого числа, то НОД не может быть больше ни одного из этих чисел.

б) Это одно из фундаментальных свойств наибольшего общего делителя (НОД).
Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. Пусть $c$ — это любой другой общий делитель чисел $a$ и $b$. Это значит, что $a$ делится на $c$ и $b$ делится на $c$. Мы должны доказать, что $d$ тоже делится на $c$.
Согласно тождеству Безу (которое является следствием расширенного алгоритма Евклида), для любых целых чисел $a$ и $b$ существуют такие целые числа $x$ и $y$, что выполняется равенство:
$d = a \cdot x + b \cdot y$
Поскольку $c$ является общим делителем $a$ и $b$, мы можем записать $a = c \cdot k$ и $b = c \cdot m$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.
Подставим эти выражения в тождество Безу:
$d = (c \cdot k) \cdot x + (c \cdot m) \cdot y$
Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$d = c \cdot (k \cdot x + m \cdot y)$
Так как $k, x, m, y$ — целые числа, то их произведение и сумма $(k \cdot x + m \cdot y)$ также являются целым числом. Обозначим это целое число как $q$.
Тогда мы получаем $d = c \cdot q$.
Это равенство по определению означает, что $d$ делится на $c$ без остатка.
Поскольку мы выбрали $c$ как произвольный общий делитель, это доказывает, что наибольший общий делитель делится на все общие делители данных чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель делится на любой другой общий делитель этих чисел, так как НОД может быть представлен в виде линейной комбинации этих чисел ($d = ax + by$), а любой их общий делитель будет также делить и эту линейную комбинацию.