Номер 3.79, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.79. Придумайте пять пар таких чисел $a$ и $b$, чтобы НОД $(a, b) = 1$.

Наибольший общий делитель (сокращенно НОД) двух целых чисел a и b — это самое большое натуральное число, на которое оба числа a и b делятся без остатка. Если $НОД(a, b) = 1$, то такие числа называются взаимно простыми. Это означает, что у них нет общих делителей, кроме единицы.

Вот пять примеров пар взаимно простых чисел:

1. Пара (3, 5)
Числа 3 и 5 являются простыми. Простые числа по определению делятся только на 1 и на самих себя. Так как 3 и 5 — это разные простые числа, их единственный общий натуральный делитель — это 1.
Проверка: Делители числа 3: {1, 3}. Делители числа 5: {1, 5}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(3, 5) = 1$.
Ответ: (3, 5).

2. Пара (8, 9)
Любые два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми. Если предположить, что у них есть общий делитель $d > 1$, то $d$ должен делить и их разность, которая равна $9 - 8 = 1$. Но единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1. Следовательно, наше предположение неверно, и единственный общий делитель — это 1.
Проверка: Разложим на простые множители: $8 = 2^3$; $9 = 3^2$. Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(8, 9) = 1$.
Ответ: (8, 9).

3. Пара (7, 10)
Здесь 7 — простое число, а 10 — составное. Для того чтобы НОД был больше 1, необходимо, чтобы 10 делилось на 7, так как 7 делится только на 1 и 7. Но 10 на 7 без остатка не делится.
Проверка: Делители числа 7: {1, 7}. Делители числа 10: {1, 2, 5, 10}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(7, 10) = 1$.
Ответ: (7, 10).

4. Пара (15, 28)
Оба числа, 15 и 28, являются составными. Чтобы найти их НОД, разложим их на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$28 = 2^2 \cdot 7$
Как видно из разложений, у этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они взаимно простые.
Ответ: (15, 28).

5. Пара (1, 42)
Число 1 имеет только один натуральный делитель — само себя. Поэтому для любого натурального числа n наибольший общий делитель чисел 1 и n всегда будет равен 1.
Проверка: Делители числа 1: {1}. Делители числа 42: {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(1, 42) = 1$.
Ответ: (1, 42).