Номер 3.75, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.75. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

а) 24 и 35;

б) 56 и 99;

в) 63 и 88;

г) 12 и 25;

д) 32 и 33.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать это с помощью разложения на простые множители, нужно показать, что в разложениях этих чисел нет одинаковых простых множителей.

а) Разложим на простые множители числа 24 и 35.

Для числа 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Для числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

Простые множители числа 24: 2 и 3.

Простые множители числа 35: 5 и 7.

Так как у чисел 24 и 35 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 24 и 35 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($24=2^3 \cdot 3$ и $35=5 \cdot 7$) не содержат общих множителей.

б) Разложим на простые множители числа 56 и 99.

Для числа 56: $56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

Для числа 99: $99 = 3 \cdot 33 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$.

Простые множители числа 56: 2 и 7.

Простые множители числа 99: 3 и 11.

Так как у чисел 56 и 99 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 56 и 99 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($56=2^3 \cdot 7$ и $99=3^2 \cdot 11$) не содержат общих множителей.

в) Разложим на простые множители числа 63 и 88.

Для числа 63: $63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Для числа 88: $88 = 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$.

Простые множители числа 63: 3 и 7.

Простые множители числа 88: 2 и 11.

Так как у чисел 63 и 88 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 63 и 88 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($63=3^2 \cdot 7$ и $88=2^3 \cdot 11$) не содержат общих множителей.

г) Разложим на простые множители числа 12 и 25.

Для числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Для числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Простые множители числа 12: 2 и 3.

Простые множители числа 25: 5.

Так как у чисел 12 и 25 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 12 и 25 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($12=2^2 \cdot 3$ и $25=5^2$) не содержат общих множителей.

д) Разложим на простые множители числа 32 и 33.

Для числа 32: $32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.

Для числа 33: $33 = 3 \cdot 11$.

Простые множители числа 32: 2.

Простые множители числа 33: 3 и 11.

Так как у чисел 32 и 33 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 32 и 33 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($32=2^5$ и $33=3 \cdot 11$) не содержат общих множителей.