Номер 3.71, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.71. Найдите:

а) $НОД (30, 36);$

б) $НОД (50, 45);$

в) $НОД (42, 48);$

г) $НОД (120, 150);$

д) $НОД (124, 93);$

е) $НОД (46, 69).$

а) НОД (30, 36);

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 30 и 36, разложим их на простые множители.

Разложение числа 30 на простые множители:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 36 на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

Для нахождения НОД нужно выбрать общие простые множители в их наименьших степенях и перемножить их.

Общие множители: 2 и 3.

Наименьшая степень для 2 это $2^1$.

Наименьшая степень для 3 это $3^1$.

НОД(30, 36) = $2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

б) НОД (50, 45);

Разложим числа 50 и 45 на простые множители.

Разложение числа 50:

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Разложение числа 45:

$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Единственный общий простой множитель - это 5. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, - первая ($5^1$).

Следовательно, НОД(50, 45) = 5.

Ответ: 5

в) НОД (42, 48);

Разложим числа 42 и 48 на простые множители.

Разложение числа 42:

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 48:

$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$

Общими простыми множителями являются 2 и 3. Возьмем их в наименьших степенях: $2^1$ и $3^1$.

Перемножим их:

НОД(42, 48) = $2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

г) НОД (120, 150);

Разложим числа 120 и 150 на простые множители.

Разложение числа 120:

$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 150:

$150 = 10 \cdot 15 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Общими простыми множителями являются 2, 3 и 5. Возьмем их в наименьших степенях: $2^1$, $3^1$, $5^1$.

Перемножим их:

НОД(120, 150) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

д) НОД (124, 93);

Разложим числа 124 и 93 на простые множители.

Разложение числа 124:

$124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$

Разложение числа 93:

$93 = 3 \cdot 31$

Единственным общим простым множителем является 31.

Следовательно, НОД(124, 93) = 31.

Ответ: 31

е) НОД (46, 69).

Разложим числа 46 и 69 на простые множители.

Разложение числа 46:

$46 = 2 \cdot 23$

Разложение числа 69:

$69 = 3 \cdot 23$

Единственным общим простым множителем является 23.

Следовательно, НОД(46, 69) = 23.

Ответ: 23