Номер 3.66, страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.66. а) Подберите такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$.

б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$?

в) Можно ли подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$?

а)

Рассмотрим уравнение $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$, где $a$ и $b$ – натуральные числа (т.е. $a \ge 1$, $b \ge 1$).

Заметим, что все члены уравнения (и $3a$, и $6b$, и 1998) делятся на 3. Проверим делимость 1998 на 3 по сумме цифр: $1+9+9+8=27$. Так как 27 делится на 3, то и 1998 делится на 3.

Разделим обе части равенства на 3, чтобы упростить его:

$ \frac{3a + 6b}{3} = \frac{1998}{3} $

$ a + 2b = 666 $

Теперь нужно подобрать пару натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению. Выразим $a$ через $b$:

$ a = 666 - 2b $

Поскольку $a$ и $b$ должны быть натуральными, мы можем выбрать любое натуральное значение для $b$ такое, чтобы $a$ также было натуральным числом. То есть $a = 666 - 2b \ge 1$.

Возьмем самое простое значение для $b$, например, $b=1$. Тогда:

$ a = 666 - 2 \cdot 1 = 664 $

Мы получили пару натуральных чисел: $a=664$ и $b=1$.

Сделаем проверку, подставив эти значения в исходное уравнение:

$ 3 \cdot 664 + 6 \cdot 1 = 1992 + 6 = 1998 $

Равенство выполняется. Существует множество других решений, например, при $b=2$ получается $a = 666 - 2 \cdot 2 = 662$.

Ответ: Например, $a=664$ и $b=1$.

б)

Рассмотрим равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$.

В левой части равенства ($3a + 6b$) оба слагаемых делятся на 3. Это значит, что мы можем вынести общий множитель 3 за скобки:

$ 3a + 6b = 3(a + 2b) $

Поскольку $a$ и $b$ – натуральные числа, то выражение в скобках $(a + 2b)$ также является натуральным числом. Следовательно, вся левая часть равенства, $3(a+2b)$, представляет собой число, которое делится на 3 без остатка (кратно 3).

Теперь рассмотрим правую часть равенства – число 1999. Чтобы проверить, делится ли оно на 3, воспользуемся признаком делимости на 3 и сложим его цифры:

$ 1 + 9 + 9 + 9 = 28 $

Число 28 не делится на 3, а значит, и 1999 не делится на 3.

В итоге мы получаем противоречие: левая часть равенства $3(a + 2b)$ всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится. Равенство между ними невозможно ни при каких натуральных (и даже целых) значениях $a$ и $b$.

Ответ: Нельзя, так как левая часть равенства ($3a+6b$) всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится.

в)

Рассмотрим равенство $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$.

Применим тот же метод, что и в пункте б), основанный на признаках делимости. Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $a$ и $b$.

$18 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9$

$81 = 3^4 = 9 \cdot 9$

НОД(18, 81) = 9. Это означает, что левая часть равенства всегда делится на 9. Вынесем 9 за скобки:

$ 18a + 81b = 9(2a + 9b) $

Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, то вся левая часть является числом, кратным 9.

Теперь проверим, делится ли на 9 правая часть равенства – число 996. Воспользуемся признаком делимости на 9 и найдем сумму его цифр:

$ 9 + 9 + 6 = 24 $

Сумма цифр 24 не делится на 9, следовательно, и число 996 не делится на 9.

Таким образом, мы снова приходим к противоречию: левая часть равенства ($18a+81b$) всегда делится на 9, а правая часть (996) на 9 не делится. Следовательно, подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$ невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.