Номер 3.76, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.76. Найдите:

а) $\text{НОД}(13, 5)$;

б) $\text{НОД}(3, 11)$;

в) $\text{НОД}(29, 19)$;

г) $\text{НОД}(54, 55)$;

д) $\text{НОД}(62, 63)$;

е) $\text{НОД}(98, 99)$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 13 и 5, нужно найти самое большое число, на которое делятся и 13, и 5. Оба числа, 13 и 5, являются простыми, так как у них есть только два делителя: 1 и само число. Делители числа 13 — это 1 и 13. Делители числа 5 — это 1 и 5. Единственный общий делитель для этих чисел — это 1. Таким образом, их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: $НОД (13, 5) = 1$.

б) Числа 3 и 11 также являются простыми. Два различных простых числа всегда взаимно просты, то есть их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: $НОД (3, 11) = 1$.

в) Числа 29 и 19 являются простыми. Как и в предыдущих случаях, у двух разных простых чисел наибольший общий делитель всегда равен 1.

Ответ: $НОД (29, 19) = 1$.

г) Числа 54 и 55 являются последовательными целыми числами. Любые два последовательных целых числа являются взаимно простыми, и их НОД всегда равен 1. Для проверки разложим оба числа на простые множители. Разложение числа 54: $54 = 2 \cdot 3^3$. Разложение числа 55: $55 = 5 \cdot 11$. У этих разложений нет общих простых множителей, что подтверждает, что НОД равен 1.

Ответ: $НОД (54, 55) = 1$.

д) Числа 62 и 63 — последовательные, а значит, они взаимно простые. Их НОД равен 1. Проверим это с помощью разложения на простые множители. Для числа 62 имеем: $62 = 2 \cdot 31$. Для числа 63: $63 = 3^2 \cdot 7$. Общих простых множителей нет, поэтому НОД равен 1.

Ответ: $НОД (62, 63) = 1$.

е) Числа 98 и 99 являются последовательными, следовательно, их наибольший общий делитель равен 1. Выполним разложение на простые множители для подтверждения. Разложение для 98: $98 = 2 \cdot 7^2$. Разложение для 99: $99 = 3^2 \cdot 11$. Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1.

Ответ: $НОД (98, 99) = 1$.