Номер 3.80, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.80. Найдите:

а) $НОД(320, 40)$;

б) $НОД(233, 79)$;

в) $НОД(278, 279)$;

г) $НОД(484, 44)$;

д) $НОД(84, 96)$;

е) $НОД(100, 175).$

а) Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) для чисел 320 и 40, достаточно заметить, что 320 делится на 40 без остатка:
$320 \div 40 = 8$
Согласно свойству НОД, если одно число является делителем другого, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Следовательно, НОД(320, 40) = 40.
Ответ: 40.

б) Для нахождения НОД(233, 79) применим алгоритм Евклида, который заключается в последовательном делении с остатком.
1. Делим большее число на меньшее:
$233 = 2 \cdot 79 + 75$
2. Делим предыдущий делитель (79) на полученный остаток (75):
$79 = 1 \cdot 75 + 4$
3. Повторяем процедуру, пока остаток не станет равен нулю:
$75 = 18 \cdot 4 + 3$
$4 = 1 \cdot 3 + 1$
$3 = 3 \cdot 1 + 0$
Последний ненулевой остаток и является наибольшим общим делителем. В данном случае это 1.
Ответ: 1.

в) Числа 278 и 279 — это два последовательных натуральных числа. Наибольший общий делитель для любых двух последовательных натуральных чисел всегда равен 1. Это связано с тем, что их разность равна 1 ($279 - 278 = 1$), и любой их общий делитель должен также делить и их разность. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1.
Следовательно, НОД(278, 279) = 1.
Ответ: 1.

г) Для нахождения НОД(484, 44), как и в пункте а), проверим, делится ли большее число на меньшее.
$484 \div 44 = 11$
Поскольку 484 делится на 44 нацело, их наибольший общий делитель равен меньшему числу.
Следовательно, НОД(484, 44) = 44.
Ответ: 44.

д) Чтобы найти НОД(84, 96), разложим оба числа на простые множители.
Для числа 84:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
Для числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2^2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 12 = 2^4 \cdot 6 = 2^5 \cdot 3$
НОД является произведением общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью, в которой они встречаются в разложениях.
Общие множители: 2 и 3.
Наименьшая степень для 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для 3 - это $3^1$.
НОД(84, 96) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12.

е) Для нахождения НОД(100, 175) также используем разложение на простые множители.
Для числа 100:
$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$
Для числа 175:
$175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$
Находим произведение общих простых множителей в наименьшей степени.
Единственный общий простой множитель - это 5. Наименьшая степень, с которой он входит в оба разложения, - это $5^2$.
НОД(100, 175) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.