Номер 3.28, страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.28. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 9:

а) 4*;

б) 5*;

в) 85*;

г) 738*;

д) 6*7;

е) 7*2;

ж) 24*0;

з) 2090*?

Чтобы число делилось на 9 без остатка, сумма всех его цифр должна быть кратна 9.

а) 4*
Пусть неизвестная цифра будет $x$. Сумма цифр числа $4x$ равна $4 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $x$ — это цифра от 0 до 9, то сумма $4+x$ может быть от $4+0=4$ до $4+9=13$. В этом диапазоне единственное число, которое делится на 9, это 9.
$4 + x = 9$
$x = 9 - 4 = 5$
Проверка: число 45, сумма цифр $4+5=9$. $45 \div 9 = 5$.
Ответ: 5.

б) 5*
Сумма цифр числа $5x$ равна $5 + x$. Сумма должна быть кратна 9.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 5 \le 5+x \le 14$.
В этом диапазоне только 9 делится на 9.
$5 + x = 9$
$x = 9 - 5 = 4$
Проверка: число 54, сумма цифр $5+4=9$. $54 \div 9 = 6$.
Ответ: 4.

в) 85*
Сумма известных цифр: $8 + 5 = 13$. Сумма всех цифр числа $85x$ равна $13 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 13 \le 13+x \le 22$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$13 + x = 18$
$x = 18 - 13 = 5$
Проверка: число 855, сумма цифр $8+5+5=18$. $855 \div 9 = 95$.
Ответ: 5.

г) 738*
Сумма известных цифр: $7 + 3 + 8 = 18$. Сумма всех цифр числа $738x$ равна $18 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 18 \le 18+x \le 27$.
В этом диапазоне на 9 делятся два числа: 18 и 27.
1) $18 + x = 18 \Rightarrow x = 0$. Получается число 7380.
2) $18 + x = 27 \Rightarrow x = 9$. Получается число 7389.
Оба варианта подходят.
Ответ: 0 или 9.

д) 6*7
Сумма известных цифр: $6 + 7 = 13$. Сумма всех цифр числа $6x7$ равна $13 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 13 \le 13+x \le 22$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$13 + x = 18$
$x = 18 - 13 = 5$
Проверка: число 657, сумма цифр $6+5+7=18$. $657 \div 9 = 73$.
Ответ: 5.

е) 7*2
Сумма известных цифр: $7 + 2 = 9$. Сумма всех цифр числа $7x2$ равна $9 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 9 \le 9+x \le 18$.
В этом диапазоне на 9 делятся два числа: 9 и 18.
1) $9 + x = 9 \Rightarrow x = 0$. Получается число 702.
2) $9 + x = 18 \Rightarrow x = 9$. Получается число 792.
Оба варианта подходят.
Ответ: 0 или 9.

ж) 24*0
Сумма известных цифр: $2 + 4 + 0 = 6$. Сумма всех цифр числа $24x0$ равна $6 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 6 \le 6+x \le 15$.
В этом диапазоне только 9 делится на 9.
$6 + x = 9$
$x = 9 - 6 = 3$
Проверка: число 2430, сумма цифр $2+4+3+0=9$. $2430 \div 9 = 270$.
Ответ: 3.

з) 2090*
Сумма известных цифр: $2 + 0 + 9 + 0 = 11$. Сумма всех цифр числа $2090x$ равна $11 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 11 \le 11+x \le 20$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$11 + x = 18$
$x = 18 - 11 = 7$
Проверка: число 20907, сумма цифр $2+0+9+0+7=18$. $20907 \div 9 = 2323$.
Ответ: 7.