Номер 3.115, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.115. Какую из фигур, изображённых на рисунке 148, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды?

а) б) в) Рис. 148

Чтобы определить, можно ли нарисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нужно воспользоваться правилом из теории графов, которое было сформулировано Леонардом Эйлером. Фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она является связной (состоит из одного «куска») и число её вершин (точек, где сходятся или пересекаются линии) с нечётным количеством сходящихся в них линий (рёбер) равно 0 или 2.

Вершина называется чётной, если в ней сходится чётное число линий. Вершина называется нечётной, если в ней сходится нечётное число линий.

• Если в фигуре нет нечётных вершин, её можно нарисовать, начав и закончив в одной и той же точке.
• Если в фигуре ровно две нечётные вершины, её можно нарисовать, начав в одной из нечётных вершин и закончив в другой.
• Если в фигуре больше двух нечётных вершин, нарисовать её одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую из предложенных фигур.

Подсчитаем степени вершин (количество линий, сходящихся в каждой точке пересечения) для этой фигуры:

• Крайняя левая вершина: 2 линии, степень $2$ (чётная).
• Верхняя центральная вершина: 5 линий, степень $5$ (нечётная).
• Нижняя центральная вершина: 5 линий, степень $5$ (нечётная).
• Вершина в самом центре: 6 линий, степень $6$ (чётная).
• Крайняя правая вершина: 2 линии, степень $2$ (чётная).

Фигура имеет ровно две нечётные вершины. Следовательно, её можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Фигуру а) нарисовать можно.

Фигура представляет собой пять пересекающихся окружностей. Вершинами в данном случае являются точки пересечения этих окружностей.

• В фигуре 8 точек пересечения.
• В каждой точке пересекаются две окружности, а значит, в каждой такой вершине сходятся 4 линии (по два луча от каждой окружности).
• Таким образом, все 8 вершин имеют степень $4$, которая является чётной.

Поскольку у фигуры нет нечётных вершин, её можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Фигуру б) нарисовать можно.

Подсчитаем степени вершин для данной фигуры:

• Точка на окружности сверху (где подходит вертикальная линия): 2 дуги окружности + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности слева (где подходит горизонтальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности справа (где подходит горизонтальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности снизу слева (где подходит вертикальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности снизу справа (где подходит вертикальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения верхней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения левой нижней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения правой нижней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).

В этой фигуре 8 нечётных вершин. Так как число нечётных вершин больше двух ($8 > 2$), эту фигуру невозможно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Ответ: Фигуру в) нарисовать нельзя.