Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.29. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной.

Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ и любого числа $ c $ (где $ b \neq 0 $ и $ c \neq 0 $) справедливо равенство:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $

Это свойство позволяет выполнять два важных действия с дробями:

1. Сокращение дроби, когда числитель и знаменатель делятся на их общий делитель.
Пример: Сократим дробь $ \frac{12}{18} $. Общий делитель для 12 и 18 — это 6.
$ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $.

2. Приведение дроби к новому знаменателю, когда числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число.
Пример: Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 15. Для этого нужно умножить знаменатель 3 на 5. Значит, и числитель нужно умножить на 5.
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $.

Ответ: Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение дроби не изменится. Пример: $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $.

4.30. Какую дробь называют несократимой? Приведите пример.

Какую дробь называют несократимой?

Дробь называют несократимой, если её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Взаимно простые числа — это числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Это означает, что не существует натурального числа, большего единицы, на которое можно было бы без остатка разделить и числитель, и знаменатель этой дроби. Иными словами, такую дробь нельзя сократить.

Ответ: Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами.

Приведите пример.

Рассмотрим дробь $\frac{9}{14}$. Чтобы проверить, является ли она несократимой, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) её числителя и знаменателя.

Для этого разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$14 = 2 \cdot 7$

Как видно из разложения, у чисел 9 и 14 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1: НОД(9, 14) = 1.

Поскольку НОД числителя и знаменателя равен 1, дробь $\frac{9}{14}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{9}{14}$.

4.31. Чему равна дробь, числитель которой равен знаменателю?

Дробь представляет собой запись числа в виде $ \frac{a}{b} $, где $a$ называется числителем, а $b$ — знаменателем. Черта дроби означает операцию деления.

По условию задачи, числитель равен знаменателю. Запишем это математически: $a = b$. При этом существует важное ограничение для любой дроби: ее знаменатель не может быть равен нулю, то есть $b \neq 0$. Поскольку $a = b$, то и числитель также не равен нулю: $a \neq 0$.

Теперь подставим в нашу дробь $ \frac{a}{b} $ значение $a$, равное $b$:

$ \frac{a}{b} = \frac{b}{b} $

Согласно правилам арифметики, любое число (кроме нуля), разделенное само на себя, равно 1.

Следовательно, $ \frac{b}{b} = 1 $.

Это означает, что любая дробь, у которой числитель и знаменатель равны и не являются нулем, всегда будет равна единице.

Примеры:

$ \frac{5}{5} = 1 $

$ \frac{-12}{-12} = 1 $

$ \frac{157}{157} = 1 $

Ответ: 1

4.32. В коробке лежат 16 кубиков. Какой дробью можно выразить взятую часть кубиков, если взять:

а) 2 кубика;

б) 4 кубика;

в) 8 кубиков?

Чтобы выразить взятую часть кубиков в виде дроби, нужно количество взятых кубиков (часть) разделить на общее количество кубиков в коробке (целое). Общее количество кубиков — 16. Это будет знаменателем дроби.

а) 2 кубика
Если взять 2 кубика из 16, то эта часть будет выражаться дробью $ \frac{2}{16} $. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2.
$ \frac{2}{16} = \frac{2 \div 2}{16 \div 2} = \frac{1}{8} $
Ответ: $ \frac{1}{8} $

б) 4 кубика
Если взять 4 кубика из 16, то эта часть будет выражаться дробью $ \frac{4}{16} $. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4.
$ \frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4} $
Ответ: $ \frac{1}{4} $

в) 8 кубиков
Если взять 8 кубиков из 16, то эта часть будет выражаться дробью $ \frac{8}{16} $. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 8.
$ \frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

4.33. Яблоко разрезали на 6 равных частей и поделили ломтики поровну между тремя девочками. Какой дробью можно записать часть яблока, полученную каждой девочкой?

По условию задачи, яблоко было разрезано на 6 равных частей. Эти 6 ломтиков были поделены поровну между тремя девочками.

1. Сначала найдем, сколько ломтиков яблока досталось каждой девочке. Для этого нужно общее количество ломтиков разделить на количество девочек:

$ 6 \div 3 = 2 $

Таким образом, каждая девочка получила по 2 ломтика.

2. Теперь нужно записать эту часть в виде дроби от целого яблока. Всё яблоко состоит из 6 частей, значит, знаменатель дроби будет равен 6. Каждая девочка получила 2 части, значит, числитель дроби будет равен 2. Получаем дробь:

$ \frac{2}{6} $

3. Полученную дробь можно и нужно сократить. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий делитель — число 2:

$ \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3} $

Следовательно, каждая девочка получила $ \frac{1}{3} $ часть яблока.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

4.34. Объясните с помощью рисунка 164, почему $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}. $

Рис. 164

На рисунке 164 изображены четыре одинаковых квадрата. В каждом из них закрашена одна и та же часть — ровно половина. Рисунки наглядно демонстрируют, почему разные дроби могут быть равны друг другу.

Рассмотрим первый квадрат. Он разделен на 2 равные части, из которых закрашена 1 часть. Закрашенная область представляет собой дробь $ \frac{1}{2} $ от всего квадрата.

Рассмотрим второй квадрат. Он разделен на 4 равные части, из которых закрашены 2 части. Это соответствует дроби $ \frac{2}{4} $. Визуально мы видим, что площадь закрашенной части во втором квадрате точно такая же, как и в первом. Следовательно, $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $.

Рассмотрим третий квадрат. Он разделен на 6 равных частей, из которых закрашены 3 части. Это соответствует дроби $ \frac{3}{6} $. Закрашенная площадь вновь составляет половину квадрата, как и на предыдущих рисунках. Значит, $ \frac{3}{6} $ равна $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{4} $.

Рассмотрим четвертый квадрат. Он разделен на 8 равных частей, из которых закрашены 4 части. Это соответствует дроби $ \frac{4}{8} $. И в этом случае закрашенная область равна половине всего квадрата. Это доказывает, что дробь $ \frac{4}{8} $ также равна остальным.

Таким образом, хотя каждый квадрат разделен на разное количество частей, во всех четырех случаях закрашенная доля одинакова — это половина целого. Дроби $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{4} $, $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{4}{8} $ описывают эту одинаковую часть, поэтому они равны между собой.

Ответ: На всех четырех рисунках закрашена одна и та же часть целого (половина квадрата). Первый рисунок представляет дробь $ \frac{1}{2} $, второй — $ \frac{2}{4} $, третий — $ \frac{3}{6} $, а четвертый — $ \frac{4}{8} $. Поскольку закрашенные части на всех рисунках равны, то и дроби, которые их представляют, также равны: $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} $.

Проверьте справедливость равенства (4.35–4.38):

4.35. а) $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$;

б) $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$;

в) $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$;

г) $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$;

д) $\frac{1}{25} = \frac{4}{100}$;

е) $\frac{1}{25} = \frac{3}{75}$;

ж) $\frac{1}{50} = \frac{2}{100}$;

з) $\frac{1}{20} = \frac{5}{100}$.

а) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 10. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 5, так как $10 \div 2 = 5$.
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$.
Так как $\frac{5}{10} = \frac{5}{10}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

б) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 10. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 2, так как $10 \div 5 = 2$.
$\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$.
Так как $\frac{2}{10} = \frac{2}{10}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

в) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 20. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 5, так как $20 \div 4 = 5$.
$\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$.
Так как $\frac{5}{20} = \frac{5}{20}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

г) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 100. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 25, так как $100 \div 4 = 25$.
$\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$.
Так как $\frac{25}{100} = \frac{25}{100}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

д) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{25} = \frac{4}{100}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 100. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 4, так как $100 \div 25 = 4$.
$\frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100}$.
Так как $\frac{4}{100} = \frac{4}{100}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

е) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{25} = \frac{3}{75}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 75. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 3, так как $75 \div 25 = 3$.
$\frac{1 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{3}{75}$.
Так как $\frac{3}{75} = \frac{3}{75}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

ж) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{50} = \frac{2}{100}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 100. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 2, так как $100 \div 50 = 2$.
$\frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{2}{100}$.
Так как $\frac{2}{100} = \frac{2}{100}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

з) Чтобы проверить равенство $\frac{1}{20} = \frac{5}{100}$, приведем дробь в левой части к знаменателю 100. Для этого нужно умножить ее числитель и знаменатель на 5, так как $100 \div 20 = 5$.
$\frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100}$.
Так как $\frac{5}{100} = \frac{5}{100}$, равенство справедливо.
Ответ: равенство справедливо.

4.36. a) $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$,

б) $\frac{5}{9} = \frac{15}{27}$,

в) $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$,

г) $\frac{7}{8} = \frac{35}{40}$,

д) $\frac{3}{5} = \frac{60}{100}$,

е) $\frac{3}{10} = \frac{60}{200}$,

ж) $\frac{1}{8} = \frac{125}{1000}$,

з) $\frac{1}{125} = \frac{8}{1000}$.

а) Чтобы проверить, верно ли равенство $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$, воспользуемся основным свойством дроби. Оно гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Найдем, во сколько раз изменился числитель: $6 \div 3 = 2$.
Найдем, во сколько раз изменился знаменатель: $8 \div 4 = 2$.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ были умножены на одно и то же число 2, равенство является верным: $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $\frac{5}{9} = \frac{15}{27}$.
Найдем общий множитель для числителя и знаменателя. Сравним числители: $15 \div 5 = 3$.
Проверим, получится ли нужный знаменатель при умножении на это число: $9 \cdot 3 = 27$.
Поскольку $27$ — это знаменатель второй дроби, равенство верно.
Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$.
Множитель для числителей: $16 \div 4 = 4$.
Проверка для знаменателей: $5 \cdot 4 = 20$.
Равенство верно, так как числитель и знаменатель первой дроби умножены на 4.
Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $\frac{7}{8} = \frac{35}{40}$.
Найдем множитель, на который умножили числитель и знаменатель: $35 \div 7 = 5$.
Проверим знаменатель: $8 \cdot 5 = 40$.
Равенство верно, так как обе части дроби $\frac{7}{8}$ умножены на 5.
Ответ: равенство верно.

д) Проверим равенство $\frac{3}{5} = \frac{60}{100}$.
Множитель: $60 \div 3 = 20$.
Проверка: $5 \cdot 20 = 100$.
Равенство верно, так как числитель и знаменатель умножены на 20.
Ответ: равенство верно.

е) Проверим равенство $\frac{3}{10} = \frac{60}{200}$.
Множитель: $60 \div 3 = 20$.
Проверка: $10 \cdot 20 = 200$.
Равенство верно, так как числитель и знаменатель умножены на 20.
Ответ: равенство верно.

ж) Проверим равенство $\frac{1}{8} = \frac{125}{1000}$.
Множитель: $125 \div 1 = 125$.
Проверка: $8 \cdot 125 = 1000$.
Равенство верно, так как числитель и знаменатель умножены на 125.
Ответ: равенство верно.

з) Проверим равенство $\frac{1}{125} = \frac{8}{1000}$.
Множитель: $8 \div 1 = 8$.
Проверка: $125 \cdot 8 = 1000$.
Равенство верно, так как числитель и знаменатель умножены на 8.
Ответ: равенство верно.

4.37. a) $ \frac{10}{100} = \frac{1}{10}; $

б) $ \frac{20}{80} = \frac{1}{4}; $

в) $ \frac{20}{100} = \frac{1}{5}; $

г) $ \frac{20}{600} = \frac{1}{30}; $

д) $ \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}; $

е) $ \frac{200}{500} = \frac{2}{5}; $

ж) $ \frac{60}{200} = \frac{3}{10}; $

з) $ \frac{80}{400} = \frac{1}{5}. $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{10}{100}$, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Наибольший общий делитель для 10 и 100 равен 10. Выполним деление: $\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.

б) Сократим дробь $\frac{20}{80}$. Наибольший общий делитель числителя 20 и знаменателя 80 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20: $\frac{20 \div 20}{80 \div 20} = \frac{1}{4}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.

в) Сократим дробь $\frac{20}{100}$. Наибольший общий делитель для 20 и 100 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20: $\frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.

г) Сократим дробь $\frac{20}{600}$. Наибольший общий делитель для 20 и 600 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20: $\frac{20 \div 20}{600 \div 20} = \frac{1}{30}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{20}{600} = \frac{1}{30}$.

д) Сократим дробь $\frac{100}{1000}$. Наибольший общий делитель для 100 и 1000 равен 100. Разделим числитель и знаменатель на 100: $\frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$.

е) Сократим дробь $\frac{200}{500}$. Наибольший общий делитель для 200 и 500 равен 100. Разделим числитель и знаменатель на 100: $\frac{200 \div 100}{500 \div 100} = \frac{2}{5}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{200}{500} = \frac{2}{5}$.

ж) Сократим дробь $\frac{60}{200}$. Наибольший общий делитель для 60 и 200 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20: $\frac{60 \div 20}{200 \div 20} = \frac{3}{10}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{60}{200} = \frac{3}{10}$.

з) Сократим дробь $\frac{80}{400}$. Наибольший общий делитель для 80 и 400 равен 80. Разделим числитель и знаменатель на 80: $\frac{80 \div 80}{400 \div 80} = \frac{1}{5}$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{80}{400} = \frac{1}{5}$.

4.38. а) $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$;

б) $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$;

в) $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$;

г) $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$;

д) $\frac{36}{42} = \frac{6}{7}$;

е) $\frac{32}{48} = \frac{2}{3}$;

ж) $\frac{20}{8000} = \frac{1}{400}$;

з) $\frac{120}{480} = \frac{1}{4}$.

а) Чтобы сократить дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Для дроби $\frac{4}{16}$ НОД чисел 4 и 16 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{15}$, найдем НОД чисел 12 и 15. Он равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) Сократим дробь $\frac{9}{27}$. НОД чисел 9 и 27 равен 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{9}{27} = \frac{9 \div 9}{27 \div 9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Для сокращения дроби $\frac{18}{24}$ найдем НОД чисел 18 и 24. Он равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

д) Сократим дробь $\frac{36}{42}$. НОД чисел 36 и 42 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{36}{42} = \frac{36 \div 6}{42 \div 6} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{32}{48}$, найдем НОД чисел 32 и 48. Он равен 16. Разделим числитель и знаменатель на 16:
$\frac{32}{48} = \frac{32 \div 16}{48 \div 16} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ж) Сократим дробь $\frac{20}{8000}$. НОД чисел 20 и 8000 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20:
$\frac{20}{8000} = \frac{20 \div 20}{8000 \div 20} = \frac{1}{400}$.
Ответ: $\frac{1}{400}$.

з) Для сокращения дроби $\frac{120}{480}$ найдем НОД чисел 120 и 480. Он равен 120. Разделим числитель и знаменатель на 120:
$\frac{120}{480} = \frac{120 \div 120}{480 \div 120} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.