Страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.56. а) Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, с другого — в 3 раза меньше. $\frac{1}{3}$ всей собранной моркови израсходовали. Сколько килограммов моркови израсходовали?

б) На сахарный завод привезли в первый день 633 т 600 кг свёклы, во второй день — в 2 раза меньше. Сколько сахара получилось из всей свёклы, если масса сахара составляла $\frac{1}{6}$ массы свёклы?

в) Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей: в первый месяц — $\frac{1}{3}$ этих овощей, во второй месяц — в 2 раза меньше, чем в первый, а остальные овощи — поровну в третий и четвёртый месяцы. По сколько овощей расходовала столовая в третий и четвёртый месяцы?

а)

1. Узнаем, сколько килограммов моркови собрали со второго участка. Это количество в 3 раза меньше, чем с первого:

$504 \div 3 = 168$ (кг) — моркови собрали со второго участка.

2. Теперь найдём общее количество моркови, собранной с двух участков:

$504 + 168 = 672$ (кг) — всего моркови собрали.

3. Известно, что израсходовали $\frac{1}{3}$ всей собранной моркови. Вычислим это количество:

$672 \div 3 = 224$ (кг) — моркови израсходовали.

Ответ: 224 кг.

б)

1. Сначала переведём массу свёклы за первый день в килограммы, зная, что $1$ т = $1000$ кг:

$633$ т $600$ кг = $633 \times 1000 + 600 = 633600$ (кг) — свёклы привезли в первый день.

2. Найдём, сколько свёклы привезли во второй день, что в 2 раза меньше, чем в первый:

$633600 \div 2 = 316800$ (кг) — свёклы привезли во второй день.

3. Вычислим общую массу свёклы, привезённой за два дня:

$633600 + 316800 = 950400$ (кг) — всего свёклы.

4. Масса полученного сахара составляет $\frac{1}{6}$ от всей массы свёклы. Найдём массу сахара:

$950400 \div 6 = 158400$ (кг).

5. Это количество можно также выразить в тоннах и килограммах:

$158400$ кг = $158$ т $400$ кг.

Ответ: 158 400 кг (или 158 т 400 кг) сахара.

в)

1. Найдём, сколько овощей было израсходовано в первый месяц, что составляет $\frac{1}{3}$ от общего количества:

$3672 \div 3 = 1224$ (кг) — израсходовано в первый месяц.

2. Вычислим количество овощей, израсходованных во второй месяц (в 2 раза меньше, чем в первый):

$1224 \div 2 = 612$ (кг) — израсходовано во второй месяц.

3. Найдём общее количество овощей, израсходованных за первые два месяца:

$1224 + 612 = 1836$ (кг) — израсходовано за первый и второй месяцы.

4. Узнаем, сколько овощей осталось на третий и четвёртый месяцы:

$3672 - 1836 = 1836$ (кг) — осталось на третий и четвёртый месяцы.

5. По условию, оставшиеся овощи были израсходованы поровну. Разделим остаток на 2, чтобы найти расход за каждый из этих месяцев:

$1836 \div 2 = 918$ (кг) — расходовали в третий и четвёртый месяцы.

Ответ: по 918 кг овощей в третий и четвёртый месяцы.

4.57. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трём сыновьям 48 000 р. и завещал жене $\frac{1}{8}$ всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?

Для решения задачи последовательно определим долю каждого наследника.

1. Вычислим долю жены

Общая сумма наследства составляет 48 000 рублей. Согласно завещанию, жене причитается $ \frac{1}{8} $ всей суммы. Рассчитаем эту величину:

$ 48000 \cdot \frac{1}{8} = \frac{48000}{8} = 6000 $ рублей.

2. Определим оставшуюся сумму

Эта сумма должна быть разделена между дочерью и тремя сыновьями. Для этого вычтем долю жены из общей суммы наследства:

$ 48000 - 6000 = 42000 $ рублей.

3. Распределим оставшуюся сумму между детьми

Введем переменную. Пусть $x$ — это сумма, которую получила дочь. По условию, каждый из трёх сыновей получил вдвое больше, чем дочь, то есть по $2x$ рублей.

Общая сумма, доставшаяся детям, складывается из доли дочери и долей трёх сыновей. Составим и решим уравнение:

$ x + 3 \cdot (2x) = 42000 $

$ x + 6x = 42000 $

$ 7x = 42000 $

$ x = \frac{42000}{7} $

$ x = 6000 $ рублей.

Таким образом, доля дочери составляет 6000 рублей.

Теперь можем найти долю каждого сына, которая равна $2x$:

$ 2 \cdot 6000 = 12000 $ рублей.

4. Проверка

Сложим доли всех наследников, чтобы убедиться в правильности расчетов:

$ 6000 \text{ (жена)} + 6000 \text{ (дочь)} + 3 \cdot 12000 \text{ (сыновья)} = 12000 + 36000 = 48000 $ рублей.

Сумма сходится с общей суммой наследства.

Ответ: жене досталось 6000 рублей, дочери — 6000 рублей, а каждому из трёх сыновей — по 12000 рублей.

4.58. На покупку овощей хозяйка израсходовала 240 р., что составило $\frac{1}{6}$ имевшихся у неё денег. Затем она купила 2 кг яблок по 110 р. за килограмм. Сколько денег у неё осталось после этих покупок?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти общую сумму денег, которая была у хозяйки изначально. Из условия известно, что 240 рублей, потраченные на овощи, составляют $\frac{1}{6}$ от всей суммы. Чтобы найти целое по его части, нужно эту часть (240 р.) разделить на дробь ($\frac{1}{6}$), что равносильно умножению на знаменатель дроби.

$240 : \frac{1}{6} = 240 \cdot 6 = 1440$ рублей.

Таким образом, изначально у хозяйки было 1440 рублей.

2. Вычислить стоимость покупки яблок. Хозяйка купила 2 кг яблок по цене 110 рублей за килограмм.

$2 \cdot 110 = 220$ рублей.

Стоимость яблок составила 220 рублей.

3. Найти, сколько денег осталось у хозяйки после всех покупок. Для этого из начальной суммы нужно вычесть расходы на овощи и на яблоки.

$1440 - 240 - 220 = 1200 - 220 = 980$ рублей.

Ответ: 980 рублей.

4.59. Отец купил сыну костюм за 4500 р., на что израсходовал $1/3$ своих денег. После этого он купил книгу, и у него осталось 8460 р. Сколько стоила книга?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Сначала определим, какая сумма денег была у отца изначально. В условии сказано, что 4500 рублей, потраченные на костюм, составляют $ \frac{1}{3} $ всех его денег. Чтобы найти общую сумму, нужно стоимость костюма умножить на 3:

$4500 \cdot 3 = 13500$ (р.) — первоначальная сумма денег у отца.

2. Теперь выясним, сколько денег осталось у отца после покупки костюма. Для этого из общей суммы вычтем стоимость костюма:

$13500 - 4500 = 9000$ (р.) — осталось после покупки костюма.

3. В условии сказано, что после покупки книги у отца осталось 8460 рублей. Чтобы найти стоимость книги, нужно из суммы, которая была у отца после покупки костюма, вычесть оставшуюся сумму:

$9000 - 8460 = 540$ (р.) — стоимость книги.

Ответ: 540 р.

4.60. Сыну 8 лет; его возраст составляет $ \frac{2}{9} $ возраста отца. А возраст отца составляет $ \frac{3}{5} $ возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти возраст отца, а затем, используя эту информацию, найти возраст дедушки.

1. Найдем возраст отца.

Известно, что возраст сына, равный 8 годам, составляет $ \frac{2}{9} $ возраста отца. Чтобы найти возраст отца (целое), зная его часть (8 лет) и долю, которую эта часть составляет ($ \frac{2}{9} $), нужно разделить часть на долю.

$ 8 \div \frac{2}{9} = 8 \times \frac{9}{2} = \frac{72}{2} = 36 $ (лет) – возраст отца.

2. Найдем возраст дедушки.

Теперь мы знаем, что возраст отца, равный 36 годам, составляет $ \frac{3}{5} $ возраста дедушки. Выполним аналогичное действие: разделим возраст отца на долю, которую он составляет от возраста дедушки.

$ 36 \div \frac{3}{5} = 36 \times \frac{5}{3} = \frac{180}{3} = 60 $ (лет) – возраст дедушки.

Ответ: 60 лет.

4.61. а) Уменьшите 90 р. на $\frac{1}{10}$ этой суммы.

б) Увеличьте 80 р. на $\frac{2}{5}$ этой суммы.

а)

Чтобы уменьшить 90 р. на $\frac{1}{10}$ этой суммы, необходимо сначала найти, чему равна $\frac{1}{10}$ от 90 р., а затем вычесть полученное значение из 90 р.

1. Найдем $\frac{1}{10}$ от 90:

$90 \cdot \frac{1}{10} = \frac{90}{10} = 9$ р.

2. Уменьшим 90 р. на 9 р.:

$90 - 9 = 81$ р.

Ответ: 81 р.

б)

Чтобы увеличить 80 р. на $\frac{2}{5}$ этой суммы, необходимо сначала найти, чему равны $\frac{2}{5}$ от 80 р., а затем прибавить полученное значение к 80 р.

1. Найдем $\frac{2}{5}$ от 80:

$80 \cdot \frac{2}{5} = \frac{80 \cdot 2}{5} = \frac{160}{5} = 32$ р.

2. Увеличим 80 р. на 32 р.:

$80 + 32 = 112$ р.

Ответ: 112 р.

4.62 В прошлом месяце цена товара составляла 900 р. Теперь она понизилась на $ \frac{3}{10} $ этой суммы. Какова теперь цена товара?

Для того чтобы найти новую цену товара, сначала нужно определить, на какую сумму она понизилась. После этого вычесть эту сумму из первоначальной цены.

1. Найдем величину скидки. Цена понизилась на $\frac{3}{10}$ от 900 рублей. Рассчитаем эту сумму:

$900 \cdot \frac{3}{10} = \frac{900 \cdot 3}{10} = \frac{2700}{10} = 270$ рублей.

Таким образом, цена товара уменьшилась на 270 рублей.

2. Теперь найдем новую цену товара, вычтя сумму понижения из первоначальной цены:

$900 - 270 = 630$ рублей.

Ответ: 630 р.

4.63. В прошлом месяце зарплата мамы составила 24 000 р. Теперь она увеличилась на $ \frac{2}{5} $ этой суммы. Какова теперь зарплата мамы?

Для того чтобы узнать новую зарплату мамы, необходимо выполнить два действия: сначала вычислить, на сколько рублей она увеличилась, а затем прибавить эту сумму к первоначальной зарплате.

1. Найдём величину повышения зарплаты. Она составляет $\frac{2}{5}$ от 24 000 рублей. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь:

$24000 \cdot \frac{2}{5} = \frac{24000 \cdot 2}{5} = \frac{48000}{5} = 9600$ рублей.

Следовательно, зарплата увеличилась на 9 600 рублей.

2. Теперь рассчитаем новую зарплату. Для этого к зарплате за прошлый месяц прибавим сумму повышения:

$24000 + 9600 = 33600$ рублей.

Ответ: 33600 рублей.