Страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.77. а) Как сравнивают дроби с общим знаменателем?

б) Как сравнивают дроби с разными знаменателями?

а) Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми (общими) знаменателями, необходимо сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше, и меньшей — та, у которой числитель меньше. Если числители равны, то равны и сами дроби.
Например, сравним дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{5}{12} $.
Поскольку знаменатели у дробей одинаковы и равны 12, мы сравниваем их числители: $ 7 > 5 $.
Следовательно, $ \frac{7}{12} > \frac{5}{12} $.
В общем виде: при сравнении дробей $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $, если $ a > b $, то $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $.
Ответ: Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой больше числитель.

б) Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю. После этого их можно сравнить по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями (то есть, сравнить их новые числители).
Порядок действий:
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для сравниваемых дробей. Чаще всего в качестве НОЗ берут наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате получатся дроби, равные исходным, но с одинаковыми знаменателями.
4. Сравнить полученные дроби, сравнивая их числители.
Например, сравним дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.
1. Находим наименьший общий знаменатель для 4 и 6. $ НОК(4, 6) = 12 $.
2. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{3}{4} $ равен $ 12 \div 4 = 3 $. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{5}{6} $ равен $ 12 \div 6 = 2 $.
3. Приводим дроби к знаменателю 12:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $
4. Теперь сравниваем дроби $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{10}{12} $. Так как $ 9 < 10 $, то $ \frac{9}{12} < \frac{10}{12} $.
Следовательно, $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.
Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю, а затем сравнить по правилу сравнения дробей с общим знаменателем.

4.78. а) Какую дробь называют правильной?

б) Какую дробь называют неправильной?

а) Правильной называют обыкновенную дробь, числитель которой (число над чертой) меньше её знаменателя (числа под чертой). Такая дробь всегда представляет собой число, которое меньше единицы. Например, дроби $ \frac{3}{5} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{7}{8} $ являются правильными. Если записать дробь в общем виде как $ \frac{a}{b} $, то она будет правильной при условии, что $ a < b $.
Ответ: Правильной называют дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

б) Неправильной называют обыкновенную дробь, числитель которой больше её знаменателя или равен ему. Такая дробь всегда представляет собой число, которое больше или равно единице. Например, дроби $ \frac{9}{4} $, $ \frac{5}{5} $, $ \frac{11}{2} $ являются неправильными. Если записать дробь в общем виде как $ \frac{a}{b} $, то она будет неправильной при условии, что $ a \ge b $.
Ответ: Неправильной называют дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

4.79. Сравните:

а) правильную дробь с $1$;

б) неправильную дробь с $1$;

в) правильную дробь с неправильной.

а) правильную дробь с 1;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим правильную дробь как $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и по определению $a < b$.

Число 1 можно представить в виде дроби с любым знаменателем, где числитель равен знаменателю. Представим 1 в виде дроби со знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь сравним правильную дробь $\frac{a}{b}$ с 1, то есть с дробью $\frac{b}{b}$. Поскольку у дробей одинаковые положительные знаменатели, для сравнения достаточно сравнить их числители.

Так как по определению правильной дроби $a < b$, то и $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$.

Следовательно, любая правильная дробь меньше 1.

Например, сравним дробь $\frac{3}{5}$ с 1. Это правильная дробь, так как $3 < 5$. Число 1 можно записать как $\frac{5}{5}$. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{5} < \frac{5}{5}$, а значит $\frac{3}{5} < 1$.

Ответ: Правильная дробь всегда меньше 1.

б) неправильную дробь с 1;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Обозначим неправильную дробь как $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа, и по определению $c \ge d$.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем $d$: $1 = \frac{d}{d}$.

Сравним неправильную дробь $\frac{c}{d}$ с 1, то есть с дробью $\frac{d}{d}$. Так как знаменатели дробей равны, сравним их числители.

По определению неправильной дроби $c \ge d$, следовательно, $\frac{c}{d} \ge \frac{d}{d}$.

Таким образом, любая неправильная дробь больше или равна 1. Она больше 1, если числитель строго больше знаменателя ($c > d$), и равна 1, если числитель равен знаменателю ($c=d$).

Например, дробь $\frac{8}{5}$ неправильная, так как $8 > 5$. Сравнивая с $1 = \frac{5}{5}$, получаем $\frac{8}{5} > 1$. Дробь $\frac{5}{5}$ также неправильная, и она равна 1.

Ответ: Неправильная дробь всегда больше или равна 1.

в) правильную дробь с неправильной.

Для сравнения правильной и неправильной дробей воспользуемся числом 1 как промежуточным значением и результатами предыдущих пунктов.

Пусть нам дана правильная дробь $\frac{a}{b}$ и неправильная дробь $\frac{c}{d}$.

Из пункта а) мы знаем, что любая правильная дробь меньше 1: $\frac{a}{b} < 1$.

Из пункта б) мы знаем, что любая неправильная дробь больше или равна 1: $\frac{c}{d} \ge 1$.

Из этих двух утверждений можно составить цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$.

Из этой цепочки следует, что правильная дробь всегда меньше неправильной дроби: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Например, сравним правильную дробь $\frac{2}{9}$ и неправильную дробь $\frac{4}{3}$.

$\frac{2}{9} < 1$, так как $2 < 9$.

$\frac{4}{3} > 1$, так как $4 > 3$.

Следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{4}{3}$.

Ответ: Правильная дробь всегда меньше неправильной дроби.

4.80. С помощью рисунка 166 объясните, почему $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$, $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.

Рис. 166

$\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$

На рисунке 166 круг и прямоугольник разделены на 4 равные части. Каждая такая часть составляет $\frac{1}{4}$ от целой фигуры. Дробь $\frac{3}{4}$ представляет 3 такие части, а дробь $\frac{1}{4}$ — одну такую часть. Визуально очевидно, что площадь, занимаемая тремя частями, больше площади, занимаемой одной частью. На отрезке числовой прямой точка, соответствующая $\frac{3}{4}$, находится правее точки $\frac{1}{4}$, что также означает, что первое число больше второго. Таким образом, сравнивая количество равных долей, мы заключаем, что $3 > 1$, а значит, и $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.
Ответ: Три части из четырех больше, чем одна часть из четырех.

$\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$

Дробь $\frac{1}{2}$ означает половину целого. Если целое разделено на 4 равные части, то его половина будет состоять из 2 таких частей. Следовательно, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Дробь $\frac{3}{4}$ представляет собой 3 части из 4. Сравнивая дроби с одинаковыми знаменателями $\frac{2}{4}$ и $\frac{3}{4}$, мы сравниваем их числители. Так как $2 < 3$, то и $\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$. Это означает, что $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$. На рисунках видно, что площадь, соответствующая двум частям из четырех (половина), меньше площади, соответствующей трем частям из четырех. На отрезке числовой прямой точка $\frac{1}{2}$ (она же $\frac{2}{4}$) расположена левее точки $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$ эквивалентна $\frac{2}{4}$, а две части из четырех меньше, чем три части из четырех.

4.81. Постройте отрезок $AB = 12$ см. Отметьте на $AB$ точку $C$ так, чтобы:

а) $AC = \frac{1}{4}AB$;

б) $AC = \frac{1}{6}AB$.

Сравните длины отрезков $AB$ и $AC$, $BC$ и $AC$, $BC$ и $AB$.

а) По условию задачи, дан отрезок $AB$ длиной 12 см. Необходимо отметить на нем точку $C$ так, чтобы выполнялось условие $AC = \frac{1}{4}AB$.
1. Найдем длину отрезка $AC$:
$AC = \frac{1}{4} \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см} = 3 \text{ см}.$
2. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + BC$. Отсюда найдем длину отрезка $BC$:
$BC = AB - AC = 12 \text{ см} - 3 \text{ см} = 9 \text{ см}.$
3. Сравним длины полученных отрезков:
- $AB$ и $AC$: $12 \text{ см} > 3 \text{ см}$, следовательно, $AB > AC$. Отрезок $AB$ в 4 раза длиннее отрезка $AC$.
- $BC$ и $AC$: $9 \text{ см} > 3 \text{ см}$, следовательно, $BC > AC$. Отрезок $BC$ в 3 раза длиннее отрезка $AC$.
- $BC$ и $AB$: $9 \text{ см} < 12 \text{ см}$, следовательно, $BC < AB$.
Ответ: $AC = 3$ см, $BC = 9$ см; $AB > AC$; $BC > AC$; $BC < AB$.

б) По условию задачи, дан отрезок $AB$ длиной 12 см. Необходимо отметить на нем точку $C$ так, чтобы выполнялось условие $AC = \frac{1}{6}AB$.
1. Найдем длину отрезка $AC$:
$AC = \frac{1}{6} \cdot AB = \frac{1}{6} \cdot 12 \text{ см} = 2 \text{ см}.$
2. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AB = AC + BC$. Найдем длину отрезка $BC$:
$BC = AB - AC = 12 \text{ см} - 2 \text{ см} = 10 \text{ см}.$
3. Сравним длины полученных отрезков:
- $AB$ и $AC$: $12 \text{ см} > 2 \text{ см}$, следовательно, $AB > AC$. Отрезок $AB$ в 6 раз длиннее отрезка $AC$.
- $BC$ и $AC$: $10 \text{ см} > 2 \text{ см}$, следовательно, $BC > AC$. Отрезок $BC$ в 5 раз длиннее отрезка $AC$.
- $BC$ и $AB$: $10 \text{ см} < 12 \text{ см}$, следовательно, $BC < AB$.
Ответ: $AC = 2$ см, $BC = 10$ см; $AB > AC$; $BC > AC$; $BC < AB$.

4.82. Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака «>» или «<»:

а) $\frac{1}{5}$ и $\frac{4}{5}$;

б) $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{7}$;

в) $\frac{7}{15}$ и $\frac{8}{15}$;

г) $\frac{7}{81}$ и $\frac{6}{81}$;

д) $\frac{27}{100}$ и $\frac{33}{100}$;

е) $\frac{1700}{1995}$ и $\frac{1800}{1995}$.

Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями используется правило: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

а) Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{4}{5}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 5. Сравниваем числители: $1 < 4$.
Следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5} < \frac{4}{5}$.

б) Сравниваем дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{7}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 7. Сравниваем числители: $2 > 1$.
Следовательно, $\frac{2}{7} > \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7} > \frac{1}{7}$.

в) Сравниваем дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{8}{15}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 15. Сравниваем числители: $7 < 8$.
Следовательно, $\frac{7}{15} < \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15} < \frac{8}{15}$.

г) Сравниваем дроби $\frac{7}{81}$ и $\frac{6}{81}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 81. Сравниваем числители: $7 > 6$.
Следовательно, $\frac{7}{81} > \frac{6}{81}$.
Ответ: $\frac{7}{81} > \frac{6}{81}$.

д) Сравниваем дроби $\frac{27}{100}$ и $\frac{33}{100}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 100. Сравниваем числители: $27 < 33$.
Следовательно, $\frac{27}{100} < \frac{33}{100}$.
Ответ: $\frac{27}{100} < \frac{33}{100}$.

е) Сравниваем дроби $\frac{1700}{1995}$ и $\frac{1800}{1995}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 1995. Сравниваем числители: $1700 < 1800$.
Следовательно, $\frac{1700}{1995} < \frac{1800}{1995}$.
Ответ: $\frac{1700}{1995} < \frac{1800}{1995}$.

4.83. Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знаков «=» и «≠»:

а) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{16}{10} $;

б) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{16}{21} $;

в) $ \frac{7}{5} $ и $ \frac{27}{20} $;

г) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{50}{100} $;

д) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{25}{100} $;

е) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{75}{100} $.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{16}{10} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 — это 10. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 2:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $.
Теперь сравним полученную дробь $ \frac{6}{10} $ с дробью $ \frac{16}{10} $. Так как знаменатели дробей равны, сравниваем их числители: $ 6 $ и $ 16 $.
Поскольку $ 6 \neq 16 $, то и исходные дроби не равны.
Ответ: $ \frac{3}{5} \neq \frac{16}{10} $.

б) Сравним дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{16}{21} $. Приведем их к общему знаменателю 21. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 7:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} $.
Сравниваем дроби $ \frac{14}{21} $ и $ \frac{16}{21} $. Их знаменатели равны, а числители $ 14 $ и $ 16 $ — нет.
Так как $ 14 \neq 16 $, дроби не равны.
Ответ: $ \frac{2}{3} \neq \frac{16}{21} $.

в) Сравним дроби $ \frac{7}{5} $ и $ \frac{27}{20} $. Приведем их к общему знаменателю 20. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 4:
$ \frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{28}{20} $.
Теперь сравним $ \frac{28}{20} $ и $ \frac{27}{20} $. Знаменатели равны, а числители $ 28 $ и $ 27 $ — нет.
Поскольку $ 28 \neq 27 $, исходные дроби не равны.
Ответ: $ \frac{7}{5} \neq \frac{27}{20} $.

г) Сравним дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{50}{100} $. Для сравнения можно упростить (сократить) вторую дробь. Разделим ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 50:
$ \frac{50}{100} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2} $.
Теперь мы сравниваем $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{2} $. Очевидно, что они равны.
Следовательно, равны и исходные дроби.
Ответ: $ \frac{1}{2} = \frac{50}{100} $.

д) Сравним дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{25}{100} $. Упростим вторую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $.
Сравнивая $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{4} $, видим, что они равны.
Значит, исходные дроби также равны.
Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{25}{100} $.

е) Сравним дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{75}{100} $. Сократим вторую дробь. Наибольший общий делитель для 75 и 100 — это 25.
$ \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} $.
Сравнивая $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{3}{4} $, заключаем, что они равны.
Следовательно, исходные дроби равны.
Ответ: $ \frac{3}{4} = \frac{75}{100} $.

4.84. а) Что тяжелее: $\frac{3}{8}$ кг конфет или $\frac{7}{20}$ кг печенья?

б) Что тяжелее: $\frac{1}{2}$ кг пуха или $\frac{9}{18}$ кг железа?

Чтобы определить, что тяжелее, необходимо сравнить числовые значения масс: $\frac{3}{8}$ кг и $\frac{7}{20}$ кг. Для сравнения этих дробей приведем их к общему знаменателю.

Наименьшим общим знаменателем для чисел 8 и 20 является их наименьшее общее кратное (НОК). НОК(8, 20) = 40.

Приведем первую дробь к знаменателю 40:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 40:
$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 2}{20 \times 2} = \frac{14}{40}$.

Теперь сравним полученные дроби. Так как числитель 15 больше числителя 14, то и дробь $\frac{15}{40}$ больше дроби $\frac{14}{40}$.
$\frac{15}{40} > \frac{14}{40}$, следовательно, $\frac{3}{8} > \frac{7}{20}$.

Это означает, что $\frac{3}{8}$ кг конфет тяжелее, чем $\frac{7}{20}$ кг печенья.

Ответ: $\frac{3}{8}$ кг конфет.

В этом вопросе необходимо сравнить массы $\frac{1}{2}$ кг пуха и $\frac{9}{18}$ кг железа. Тип вещества (пух или железо) не имеет значения, поскольку сравниваются именно их массы, выраженные в килограммах, а не их объем или плотность.

Для сравнения масс сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{9}{18}$.

Упростим (сократим) дробь $\frac{9}{18}$, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:
$\frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы видим, что $\frac{1}{2} = \frac{9}{18}$.

Следовательно, массы пуха и железа одинаковы.

Ответ: их массы равны.

4.85. Сравните дроби с одинаковыми числителями:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{3}{7} $;

д) $ \frac{7}{13} $ и $ \frac{7}{15} $;

е) $ \frac{8}{7} $ и $ \frac{8}{11} $.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, нужно воспользоваться правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.

а)

Сравниваем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 1.

Сравниваем знаменатели: $2 < 3$.

Так как знаменатель первой дроби (2) меньше знаменателя второй дроби (3), то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

б)

Сравниваем дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{4}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 1.

Сравниваем знаменатели: $7 > 4$.

Так как знаменатель первой дроби (7) больше знаменателя второй дроби (4), то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{1}{7} < \frac{1}{4}$.

в)

Сравниваем дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{2}{3}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 2.

Сравниваем знаменатели: $5 > 3$.

Так как знаменатель первой дроби (5) больше знаменателя второй дроби (3), то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$.

г)

Сравниваем дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{3}{7}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 3.

Сравниваем знаменатели: $5 < 7$.

Так как знаменатель первой дроби (5) меньше знаменателя второй дроби (7), то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$.

д)

Сравниваем дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{15}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 7.

Сравниваем знаменатели: $13 < 15$.

Так как знаменатель первой дроби (13) меньше знаменателя второй дроби (15), то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{7}{15}$.

е)

Сравниваем дроби $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{11}$.

Числители у дробей одинаковые и равны 8.

Сравниваем знаменатели: $7 < 11$.

Так как знаменатель первой дроби (7) меньше знаменателя второй дроби (11), то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{8}{7} > \frac{8}{11}$.