Страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.91. a) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше $ \frac{5}{9} $, но меньше $ \frac{7}{9} $.

б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые больше $ \frac{1}{3} $, но меньше $ \frac{2}{3} $.

а) Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{10}$, где $x$ — натуральное число. По условию, эта дробь должна удовлетворять двойному неравенству:
$\frac{5}{9} < \frac{x}{10} < \frac{7}{9}$
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 10 — это их произведение, то есть 90.
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{50}{90}$
$\frac{x}{10} = \frac{x \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{9x}{90}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$
Теперь неравенство можно переписать в виде:
$\frac{50}{90} < \frac{9x}{90} < \frac{70}{90}$
Так как знаменатели у всех дробей одинаковые, мы можем сравнить их числители:
$50 < 9x < 70$
Чтобы найти возможные значения $x$, разделим все части неравенства на 9:
$\frac{50}{9} < x < \frac{70}{9}$
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$5\frac{5}{9} < x < 7\frac{7}{9}$
Целые числа $x$, которые находятся в этом интервале, — это 6 и 7.
Следовательно, искомые дроби: $\frac{6}{10}$ и $\frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{6}{10}, \frac{7}{10}$.

б) Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{y}{13}$, где $y$ — натуральное число. По условию, эта дробь должна удовлетворять двойному неравенству:
$\frac{1}{3} < \frac{y}{13} < \frac{2}{3}$
Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 13 — это их произведение, то есть 39.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39}$
$\frac{y}{13} = \frac{y \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{3y}{39}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{26}{39}$
Теперь неравенство можно переписать в виде:
$\frac{13}{39} < \frac{3y}{39} < \frac{26}{39}$
Так как знаменатели одинаковы, сравним числители:
$13 < 3y < 26$
Чтобы найти возможные значения $y$, разделим все части неравенства на 3:
$\frac{13}{3} < y < \frac{26}{3}$
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа:
$4\frac{1}{3} < y < 8\frac{2}{3}$
Целые числа $y$, которые находятся в этом интервале, — это 5, 6, 7 и 8.
Следовательно, искомые дроби: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}$.

4.92. a) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие $\frac{1}{3}$, но меньшие $\frac{1}{2}$. Сколько таких дробей?

б) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, большие $\frac{1}{3}$, но меньшие $\frac{1}{2}$. Сколько таких дробей?

a)

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{x}{60} $, где $x$ - целое число. Согласно условию, эта дробь должна удовлетворять неравенству $ \frac{1}{3} < \frac{x}{60} < \frac{1}{2} $.

Приведем все дроби к общему знаменателю 60: $ \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} < \frac{x}{60} < \frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30} $, что дает $ \frac{20}{60} < \frac{x}{60} < \frac{30}{60} $. Из этого неравенства следует, что числитель $x$ должен быть целым числом в интервале $ 20 < x < 30 $.

Возможные значения для $x$: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.

По условию дробь $ \frac{x}{60} $ должна быть несократимой, что означает, что числитель $x$ и знаменатель 60 должны быть взаимно простыми числами, то есть $ \text{НОД}(x, 60) = 1 $. Разложим 60 на простые множители: $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $. Следовательно, $x$ не должен делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Проверим каждое из возможных значений $x$: числа 21, 24, 27 делятся на 3; числа 22, 24, 26, 28 делятся на 2; число 25 делится на 5. Эти значения не подходят. Остаются числа 23 и 29. Оба они являются простыми, поэтому они взаимно просты с 60.

Таким образом, искомые дроби: $ \frac{23}{60} $ и $ \frac{29}{60} $. Всего таких дробей две.

Ответ: $ \frac{23}{60}, \frac{29}{60} $. Всего 2 дроби.

б)

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{60}{y} $, где $y$ - натуральное число. Согласно условию, дробь должна удовлетворять неравенству $ \frac{1}{3} < \frac{60}{y} < \frac{1}{2} $.

Это двойное неравенство можно переписать в виде системы из двух неравенств: $ \frac{1}{3} < \frac{60}{y} $ и $ \frac{60}{y} < \frac{1}{2} $. Из первого неравенства получаем $y < 180$. Из второго неравенства получаем $120 < y$. Объединив, получаем, что знаменатель $y$ должен быть целым числом в интервале $ 120 < y < 180 $.

По условию дробь $ \frac{60}{y} $ должна быть несократимой, то есть $ \text{НОД}(60, y) = 1 $. Так как простые делители числа 60 это 2, 3 и 5 ($ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $), то $y$ не должен делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Нам необходимо найти все целые числа в диапазоне от 121 до 179 включительно, которые не делятся на 2, 3 и 5. Выпишем эти числа:

121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179.

Всего таких чисел 16. Это означает, что существует 16 искомых дробей, которые равны $ \frac{60}{y} $ для каждого из найденных значений $y$.

Ответ: $ \frac{60}{121}, \frac{60}{127}, \frac{60}{131}, \frac{60}{133}, \frac{60}{137}, \frac{60}{139}, \frac{60}{143}, \frac{60}{149}, \frac{60}{151}, \frac{60}{157}, \frac{60}{161}, \frac{60}{163}, \frac{60}{167}, \frac{60}{169}, \frac{60}{173}, \frac{60}{179} $. Всего 16 дробей.