Страница 194 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, используя законы сложения (4.121–4.127):

4.121. a) $13 + (15 + 12)$;

б) $21 + 7 + 23$;

в) $19 + (37 + 11)$;

г) $37 + 14 + 26$;

д) $2 + 7 + 8 + 3$;

е) $9 + 7 + 3 + 1$;

ж) $15 + 8 + 2 + 5$;

з) $13 + 14 + 7 + 6.$

а) В выражении $13 + (15 + 12)$ можно сначала выполнить действие в скобках, а затем сложить с первым числом, или, используя сочетательный закон сложения, изменить порядок действий.
Способ 1: Выполняем действие в скобках.
$15 + 12 = 27$
$13 + 27 = 40$
Способ 2: Используем сочетательный закон $a + (b + c) = (a + b) + c$.
$13 + (15 + 12) = (13 + 15) + 12 = 28 + 12 = 40$
Ответ: 40

б) Для вычисления суммы $21 + 7 + 23$ используем сочетательный закон сложения. Сгруппируем второе и третье слагаемые, так как их сумма дает круглое число.
$21 + 7 + 23 = 21 + (7 + 23) = 21 + 30 = 51$
Ответ: 51

в) Для вычисления суммы $19 + (37 + 11)$ используем переместительный и сочетательный законы сложения. Чтобы упростить вычисление, удобно сложить $19$ и $11$.
$19 + (37 + 11) = 19 + (11 + 37) = (19 + 11) + 37 = 30 + 37 = 67$
Ответ: 67

г) Для вычисления суммы $37 + 14 + 26$ используем сочетательный закон сложения. Сгруппируем второе и третье слагаемые, так как их сумма дает круглое число.
$37 + 14 + 26 = 37 + (14 + 26) = 37 + 40 = 77$
Ответ: 77

д) Для вычисления суммы $2 + 7 + 8 + 3$ используем переместительный и сочетательный законы сложения. Переставим слагаемые местами и сгруппируем их так, чтобы получить круглые числа.
$2 + 7 + 8 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20$
Ответ: 20

е) Для вычисления суммы $9 + 7 + 3 + 1$ используем переместительный и сочетательный законы сложения. Переставим слагаемые местами и сгруппируем их.
$9 + 7 + 3 + 1 = (9 + 1) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20$
Ответ: 20

ж) Для вычисления суммы $15 + 8 + 2 + 5$ используем переместительный и сочетательный законы сложения. Переставим слагаемые местами и сгруппируем их.
$15 + 8 + 2 + 5 = (15 + 5) + (8 + 2) = 20 + 10 = 30$
Ответ: 30

з) Для вычисления суммы $13 + 14 + 7 + 6$ используем переместительный и сочетательный законы сложения. Переставим слагаемые местами и сгруппируем их.
$13 + 14 + 7 + 6 = (13 + 7) + (14 + 6) = 20 + 20 = 40$
Ответ: 40

4.122 а) $34 + 87 + 66;$

В) $371 + 483 + 629;$

Д) $4344 + 1256 + 744;$

б) $25 + 97 + 75;$

г) $631 + 783 + 369;$

е) $1594 + 920 + 3080.$

а) Для удобства вычислений поменяем слагаемые местами и сгруппируем их так, чтобы получить круглое число: $34 + 87 + 66 = (34 + 66) + 87$.
Сначала выполним сложение в скобках: $34 + 66 = 100$.
Затем к результату прибавим оставшееся число: $100 + 87 = 187$.
Ответ: 187

б) Сгруппируем слагаемые для упрощения расчетов: $25 + 97 + 75 = (25 + 75) + 97$.
Вычислим сумму в скобках: $25 + 75 = 100$.
Теперь сложим полученный результат с оставшимся слагаемым: $100 + 97 = 197$.
Ответ: 197

В) Сгруппируем первое и третье слагаемые, так как их сумма дает круглое число: $371 + 483 + 629 = (371 + 629) + 483$.
Найдем сумму в скобках: $371 + 629 = 1000$.
Прибавим к результату второе слагаемое: $1000 + 483 = 1483$.
Ответ: 1483

г) Сгруппируем первое и третье слагаемые, чтобы получить в сумме круглое число: $631 + 783 + 369 = (631 + 369) + 783$.
Вычислим сумму в скобках: $631 + 369 = 1000$.
Теперь к полученной сумме прибавим второе слагаемое: $1000 + 783 = 1783$.
Ответ: 1783

Д) Сгруппируем второе и третье слагаемые для удобства вычислений: $4344 + 1256 + 744 = 4344 + (1256 + 744)$.
Выполним сложение в скобках: $1256 + 744 = 2000$.
Теперь сложим первое слагаемое с полученным результатом: $4344 + 2000 = 6344$.
Ответ: 6344

е) Сгруппируем второе и третье слагаемые, так как их сумма дает круглое число: $1594 + 920 + 3080 = 1594 + (920 + 3080)$.
Найдем сумму в скобках: $920 + 3080 = 4000$.
Прибавим к первому слагаемому полученный результат: $1594 + 4000 = 5594$.
Ответ: 5594

4.123. а) $\frac{11}{48} + \frac{13}{48} + \frac{17}{48}$;

б) $\frac{19}{55} + \frac{18}{55} + \frac{12}{55}$;

В) $\frac{25}{64} + \frac{17}{64} + \frac{15}{64}$;

Г) $\frac{23}{69} + \frac{38}{69} + \frac{7}{69}$;

Д) $\frac{28}{43} + \frac{52}{43} + \frac{19}{43}$;

е) $\frac{17}{45} + \frac{11}{45} + \frac{23}{45}$;

Ж) $\frac{1}{45} + \frac{2}{45} + \frac{7}{45}$;

З) $\frac{13}{44} + \frac{15}{44} + \frac{17}{44}$;

И) $\frac{16}{77} + \frac{8}{77} + \frac{4}{77}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{11}{48} + \frac{13}{48} + \frac{17}{48} = \frac{11 + 13 + 17}{48} = \frac{41}{48}$

Дробь $\frac{41}{48}$ несократима, так как числитель 41 является простым числом.

Ответ: $\frac{41}{48}$

б) Складываем числители дробей, так как знаменатель у них общий (55).

$\frac{19}{55} + \frac{18}{55} + \frac{12}{55} = \frac{19 + 18 + 12}{55} = \frac{49}{55}$

Дробь $\frac{49}{55}$ несократима, так как у числителя (49) и знаменателя (55) нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{49}{55}$

в) Знаменатели дробей одинаковы и равны 64. Складываем числители.

$\frac{25}{64} + \frac{17}{64} + \frac{15}{64} = \frac{25 + 17 + 15}{64} = \frac{57}{64}$

Проверяем, можно ли сократить дробь. Общих делителей у 57 и 64 нет, значит дробь несократима.

Ответ: $\frac{57}{64}$

г) Знаменатели дробей равны 69. Складываем числители.

$\frac{23}{69} + \frac{38}{69} + \frac{7}{69} = \frac{23 + 38 + 7}{69} = \frac{68}{69}$

Числа 68 и 69 являются последовательными, поэтому у них нет общих делителей, кроме 1. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{68}{69}$

д) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 43.

$\frac{28}{43} + \frac{52}{43} + \frac{19}{43} = \frac{28 + 52 + 19}{43} = \frac{99}{43}$

Полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя). Выделим из нее целую часть.

$99 \div 43 = 2$ и $13$ в остатке.

Следовательно, $\frac{99}{43} = 2\frac{13}{43}$.

Ответ: $2\frac{13}{43}$

е) Складываем дроби с общим знаменателем 45.

$\frac{17}{45} + \frac{11}{45} + \frac{23}{45} = \frac{17 + 11 + 23}{45} = \frac{51}{45}$

Дробь $\frac{51}{45}$ является неправильной и сократимой. Сначала сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.

$\frac{51 \div 3}{45 \div 3} = \frac{17}{15}$

Теперь выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{17}{15}$.

$17 \div 15 = 1$ и $2$ в остатке.

Получаем: $\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$.

Ответ: $1\frac{2}{15}$

ж) Складываем числители дробей с общим знаменателем 45.

$\frac{1}{45} + \frac{2}{45} + \frac{7}{45} = \frac{1 + 2 + 7}{45} = \frac{10}{45}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5.

$\frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

з) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 44.

$\frac{13}{44} + \frac{15}{44} + \frac{17}{44} = \frac{13 + 15 + 17}{44} = \frac{45}{44}$

Так как дробь неправильная, выделим целую часть.

$45 \div 44 = 1$ и $1$ в остатке.

Следовательно, $\frac{45}{44} = 1\frac{1}{44}$.

Ответ: $1\frac{1}{44}$

и) Складываем числители дробей с общим знаменателем 77.

$\frac{16}{77} + \frac{8}{77} + \frac{4}{77} = \frac{16 + 8 + 4}{77} = \frac{28}{77}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 28 и 77 это 7.

$\frac{28 \div 7}{77 \div 7} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

4.124. a) $\frac{17}{30} + \frac{28}{30} = \frac{15+2+28}{30} = \dots;$

б) $\frac{29}{40} + \frac{37}{40};$

в) $\frac{58}{61} + \frac{45}{61};$

г) $\frac{257}{300} + \frac{199}{300};$

д) $\frac{379}{401} + \frac{127}{401}.$

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В примере, вероятно, допущена опечатка в числителе, где $17$ представлено как $15+2$. Правильное сложение числителей выглядит так: $17+28$.

$ \frac{17}{30} + \frac{28}{30} = \frac{17 + 28}{30} = \frac{45}{30} $

Полученную неправильную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя $45$ и знаменателя $30$ равен $15$.

$ \frac{45 \div 15}{30 \div 15} = \frac{3}{2} $

Теперь выделим целую часть из дроби:

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

Ответ: $ 1\frac{1}{2} $.

Складываем числители дробей, так как знаменатели одинаковы:

$ \frac{29}{40} + \frac{37}{40} = \frac{29 + 37}{40} = \frac{66}{40} $

Сокращаем полученную дробь. Наибольший общий делитель для $66$ и $40$ равен $2$.

$ \frac{66 \div 2}{40 \div 2} = \frac{33}{20} $

Выделяем целую часть:

$ \frac{33}{20} = 1\frac{13}{20} $

Ответ: $ 1\frac{13}{20} $.

Складываем числители дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{58}{61} + \frac{45}{61} = \frac{58 + 45}{61} = \frac{103}{61} $

Знаменатель $61$ — простое число. Числитель $103$ на $61$ не делится, следовательно, дробь несократимая. Выделим целую часть:

$ \frac{103}{61} = 1\frac{42}{61} $

Ответ: $ 1\frac{42}{61} $.

Складываем числители дробей:

$ \frac{257}{300} + \frac{199}{300} = \frac{257 + 199}{300} = \frac{456}{300} $

Сокращаем дробь. Наибольший общий делитель для $456$ и $300$ равен $12$.

$ \frac{456 \div 12}{300 \div 12} = \frac{38}{25} $

Выделяем целую часть:

$ \frac{38}{25} = 1\frac{13}{25} $

Ответ: $ 1\frac{13}{25} $.

Складываем числители дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{379}{401} + \frac{127}{401} = \frac{379 + 127}{401} = \frac{506}{401} $

Знаменатель $401$ является простым числом. Числитель $506$ на $401$ не делится, значит, дробь несократимая. Выделим целую часть:

$ \frac{506}{401} = 1\frac{105}{401} $

Ответ: $ 1\frac{105}{401} $.

4.125. а) $\frac{1}{5} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25}$;

б) $\frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{3}{7}$;

в) $\frac{1}{15} + \frac{2}{45} + \frac{7}{15}$;

г) $\frac{3}{49} + \frac{5}{7} + \frac{4}{49}$;

д) $\frac{7}{10} + \frac{2}{15} + \frac{11}{30}$;

е) $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$.

а) $\frac{1}{5} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25}$

Сначала сложим дроби с одинаковыми знаменателями, используя свойство сложения:

$\frac{1}{5} + (\frac{8}{25} + \frac{7}{25}) = \frac{1}{5} + \frac{8+7}{25} = \frac{1}{5} + \frac{15}{25}$

Сократим дробь $\frac{15}{25}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

б) $\frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{3}{7}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{1}{7} + \frac{3}{7}) + \frac{2}{21} = \frac{1+3}{7} + \frac{2}{21} = \frac{4}{7} + \frac{2}{21}$

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для 7 и 21 это 21. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3:

$\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2}{21} = \frac{12}{21} + \frac{2}{21} = \frac{12+2}{21} = \frac{14}{21}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) $\frac{1}{15} + \frac{2}{45} + \frac{7}{15}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{1}{15} + \frac{7}{15}) + \frac{2}{45} = \frac{1+7}{15} + \frac{2}{45} = \frac{8}{15} + \frac{2}{45}$

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для 15 и 45 это 45. Домножим первую дробь на 3:

$\frac{8 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2}{45} = \frac{24}{45} + \frac{2}{45} = \frac{24+2}{45} = \frac{26}{45}$

Дробь $\frac{26}{45}$ является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей кроме 1.

Ответ: $\frac{26}{45}$

г) $\frac{3}{49} + \frac{5}{7} + \frac{4}{49}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{3}{49} + \frac{4}{49}) + \frac{5}{7} = \frac{3+4}{49} + \frac{5}{7} = \frac{7}{49} + \frac{5}{7}$

Сократим дробь $\frac{7}{49}$ на 7:

$\frac{7 \div 7}{49 \div 7} = \frac{1}{7}$

Теперь сложим полученный результат с оставшейся дробью:

$\frac{1}{7} + \frac{5}{7} = \frac{1+5}{7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

д) $\frac{7}{10} + \frac{2}{15} + \frac{11}{30}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 10, 15 и 30. Так как 30 делится на 10 и на 15, то наименьший общий знаменатель равен 30.

Приведем все дроби к знаменателю 30, найдя для каждой дополнительный множитель:

Для $\frac{7}{10}$ дополнительный множитель $30 \div 10 = 3$.

Для $\frac{2}{15}$ дополнительный множитель $30 \div 15 = 2$.

$\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{11}{30} = \frac{21}{30} + \frac{4}{30} + \frac{11}{30}$

Сложим числители:

$\frac{21+4+11}{30} = \frac{36}{30}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:

$\frac{36 \div 6}{30 \div 6} = \frac{6}{5}$

Ответ: $\frac{6}{5}$

е) $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) + \frac{1}{18} = \frac{1+1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{2}{12} + \frac{1}{18}$

Сократим дробь $\frac{2}{12}$ на 2:

$\frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Теперь необходимо сложить $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{18}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 18. Он равен 18.

Приведем первую дробь к знаменателю 18:

$\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3+1}{18} = \frac{4}{18}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4 \div 2}{18 \div 2} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

4.126. а) $ \frac{31}{80} + \left(\frac{3}{16} + \frac{39}{80}\right); $

б) $ \frac{2}{45} + \left(\frac{3}{45} + \frac{7}{9}\right); $

В) $ \left(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}\right) + \frac{1}{14}; $

Г) $ \frac{7}{15} + \left(\frac{2}{15} + \frac{1}{5}\right); $

Д) $ \frac{3}{16} + \left(\frac{1}{16} + \frac{5}{8}\right); $

е) $ \left(\frac{1}{13} + \frac{1}{14}\right) + \frac{12}{13}. $

а) $ \frac{31}{80} + (\frac{3}{16} + \frac{39}{80}) $.Для удобства вычислений сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, используя сочетательное и переместительное свойства сложения:$ (\frac{31}{80} + \frac{39}{80}) + \frac{3}{16} $.Сначала выполним сложение в скобках:$ \frac{31}{80} + \frac{39}{80} = \frac{31 + 39}{80} = \frac{70}{80} $.Сократим дробь: $ \frac{70}{80} = \frac{7}{8} $.Теперь прибавим оставшуюся дробь: $ \frac{7}{8} + \frac{3}{16} $.Приведем дроби к общему знаменателю 16:$ \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16} = \frac{14}{16} + \frac{3}{16} = \frac{14 + 3}{16} = \frac{17}{16} $.Выделим целую часть: $ \frac{17}{16} = 1\frac{1}{16} $.Ответ: $ 1\frac{1}{16} $.

б) $ \frac{2}{45} + (\frac{3}{45} + \frac{7}{9}) $.Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:$ (\frac{2}{45} + \frac{3}{45}) + \frac{7}{9} $.Выполним сложение в скобках:$ \frac{2 + 3}{45} = \frac{5}{45} $.Сократим полученную дробь на 5: $ \frac{5}{45} = \frac{1}{9} $.Теперь сложим результат с оставшейся дробью:$ \frac{1}{9} + \frac{7}{9} = \frac{1 + 7}{9} = \frac{8}{9} $.Ответ: $ \frac{8}{9} $.

в) $ (\frac{3}{7} + \frac{5}{14}) + \frac{1}{14} $.Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:$ \frac{3}{7} + (\frac{5}{14} + \frac{1}{14}) $.Выполним сложение в скобках:$ \frac{5 + 1}{14} = \frac{6}{14} $.Сократим полученную дробь на 2: $ \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $.Теперь сложим результат с оставшейся дробью:$ \frac{3}{7} + \frac{3}{7} = \frac{3 + 3}{7} = \frac{6}{7} $.Ответ: $ \frac{6}{7} $.

г) $ \frac{7}{15} + (\frac{2}{15} + \frac{1}{5}) $.Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:$ (\frac{7}{15} + \frac{2}{15}) + \frac{1}{5} $.Выполним сложение в скобках:$ \frac{7 + 2}{15} = \frac{9}{15} $.Сократим полученную дробь на 3: $ \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.Теперь сложим результат с оставшейся дробью:$ \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3 + 1}{5} = \frac{4}{5} $.Ответ: $ \frac{4}{5} $.

д) $ \frac{3}{16} + (\frac{1}{16} + \frac{5}{8}) $.Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:$ (\frac{3}{16} + \frac{1}{16}) + \frac{5}{8} $.Выполним сложение в скобках:$ \frac{3 + 1}{16} = \frac{4}{16} $.Сократим полученную дробь на 4: $ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.Теперь сложим результат с оставшейся дробью:$ \frac{1}{4} + \frac{5}{8} $.Приведем дробь $ \frac{1}{4} $ к общему знаменателю 8:$ \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{2 + 5}{8} = \frac{7}{8} $.Ответ: $ \frac{7}{8} $.

е) $ (\frac{1}{13} + \frac{1}{14}) + \frac{12}{13} $.Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:$ (\frac{1}{13} + \frac{12}{13}) + \frac{1}{14} $.Выполним сложение в скобках:$ \frac{1 + 12}{13} = \frac{13}{13} = 1 $.Теперь сложим результат с оставшейся дробью:$ 1 + \frac{1}{14} = 1\frac{1}{14} $.Ответ: $ 1\frac{1}{14} $.

4.127. а) $ \frac{1}{27} + \frac{5}{9} + \frac{1}{3}; $

б) $ \frac{2}{9} + \frac{5}{6} + \frac{1}{18}; $

в) $ \frac{2}{15} + \frac{1}{5} + \frac{3}{10}; $

г) $ \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{24}; $

д) $ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16}; $

е) $ \frac{5}{7} + \frac{3}{14} + \frac{1}{21}. $

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{27} + \frac{5}{9} + \frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 27, 9 и 3 — это 27. Приводим дроби к этому знаменателю, умножая числитель и знаменатель на соответствующие множители:
вторую дробь ($\frac{5}{9}$) умножаем на 3: $\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27}$;
третью дробь ($\frac{1}{3}$) умножаем на 9: $\frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{9}{27}$.
Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{1}{27} + \frac{15}{27} + \frac{9}{27} = \frac{1 + 15 + 9}{27} = \frac{25}{27}$.
Ответ: $\frac{25}{27}$

б) Для сложения дробей $\frac{2}{9} + \frac{5}{6} + \frac{1}{18}$ найдем НОЗ для знаменателей 9, 6 и 18. Это число 18. Приводим дроби к знаменателю 18:
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$.
Складываем полученные дроби:
$\frac{4}{18} + \frac{15}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4 + 15 + 1}{18} = \frac{20}{18}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{20 \div 2}{18 \div 2} = \frac{10}{9}$.
Выделяем целую часть, так как дробь неправильная: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.
Ответ: $1\frac{1}{9}$

в) Решим пример $\frac{2}{15} + \frac{1}{5} + \frac{3}{10}$. НОЗ для 15, 5 и 10 — это 30. Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$;
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$;
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$.
Складываем дроби:
$\frac{4}{30} + \frac{6}{30} + \frac{9}{30} = \frac{4 + 6 + 9}{30} = \frac{19}{30}$.
Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{19}{30}$

г) Чтобы сложить $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{24}$, найдем НОЗ для 8, 12 и 24. Это 24. Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$;
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{9}{24} + \frac{10}{24} + \frac{1}{24} = \frac{9 + 10 + 1}{24} = \frac{20}{24}$.
Сократим полученную дробь на 4: $\frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

д) Рассмотрим сумму $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16}$. НОЗ для 4, 8 и 16 — это 16. Приводим дроби к этому знаменателю:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16}$;
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{6}{16}$.
Складываем дроби:
$\frac{4}{16} + \frac{6}{16} + \frac{5}{16} = \frac{4 + 6 + 5}{16} = \frac{15}{16}$.
Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{15}{16}$

е) Для решения примера $\frac{5}{7} + \frac{3}{14} + \frac{1}{21}$ найдем НОЗ для 7, 14 и 21. Это 42. Приводим дроби к знаменателю 42:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}$;
$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$;
$\frac{1}{21} = \frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{2}{42}$.
Складываем полученные дроби:
$\frac{30}{42} + \frac{9}{42} + \frac{2}{42} = \frac{30 + 9 + 2}{42} = \frac{41}{42}$.
Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{41}{42}$

4.128. Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство:

а) $ (\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}); $

б) $ \frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6}. $

Сочетательный закон сложения, который для любых чисел a, b и c записывается как $ (a + b) + c = a + (b + c) $, справедлив не только для натуральных чисел, но и для дробей. Чтобы проверить равенства, мы вычислим значение левой и правой части каждого из них и сравним результаты.

а) $ (\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{7}{12}) $

Вычислим левую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 2}{12} = \frac{9 + 2}{12} = \frac{11}{12} $

2. Теперь прибавим к результату третью дробь.

$ \frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} $

3. Сократим полученную дробь на 6.

$ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

Вычислим правую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{2 + 7}{12} = \frac{9}{12} $

2. Теперь прибавим результат к первой дроби. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$ \frac{3}{4} + \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{9}{12} = \frac{9 + 9}{12} = \frac{18}{12} $

3. Сократим полученную дробь на 6.

$ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $), равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б) $ \frac{7}{15} + (\frac{2}{9} + \frac{5}{6}) = (\frac{7}{15} + \frac{2}{9}) + \frac{5}{6} $

Вычислим левую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.

$ \frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{18} + \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{4 + 15}{18} = \frac{19}{18} $

2. Теперь прибавим к результату первую дробь. Общий знаменатель для 15 и 18 равен 90.

$ \frac{7}{15} + \frac{19}{18} = \frac{7 \cdot 6}{90} + \frac{19 \cdot 5}{90} = \frac{42 + 95}{90} = \frac{137}{90} $

Вычислим правую часть равенства:

1. Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для 15 и 9 равен 45.

$ \frac{7}{15} + \frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 3}{45} + \frac{2 \cdot 5}{45} = \frac{21 + 10}{45} = \frac{31}{45} $

2. Теперь прибавим к результату третью дробь. Общий знаменатель для 45 и 6 равен 90.

$ \frac{31}{45} + \frac{5}{6} = \frac{31 \cdot 2}{90} + \frac{5 \cdot 15}{90} = \frac{62 + 75}{90} = \frac{137}{90} $

Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{137}{90} = \frac{137}{90} $), равенство верно.

Ответ: равенство верно.

4.129. Запишите переместительный закон сложения для чисел:

а) $1/7$ и $2/7$;

б) $a/5$ и $b/5$;

в) $m/n$ и $k/n$.

а) Переместительный закон сложения утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Для чисел $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{7}$ этот закон будет выглядеть как равенство двух сумм, где слагаемые поменяны местами.
Запишем закон: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{1}{7}$.
Мы можем убедиться в верности этого равенства, вычислив обе части:
Левая часть: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1+2}{7} = \frac{3}{7}$.
Правая часть: $\frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2+1}{7} = \frac{3}{7}$.
Так как $\frac{3}{7} = \frac{3}{7}$, равенство верно.
Ответ: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{1}{7}$.

б) Для чисел $\frac{a}{5}$ и $\frac{b}{5}$, где a и b — некоторые числа, переместительный закон сложения записывается аналогично. Мы просто меняем местами дроби.
Запишем закон: $\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{b}{5} + \frac{a}{5}$.
Сложение дробей с одинаковым знаменателем подтверждает это равенство:
$\frac{a+b}{5} = \frac{b+a}{5}$.
Поскольку для чисел a и b также действует переместительный закон сложения ($a+b=b+a$), данное равенство всегда будет верным.
Ответ: $\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{b}{5} + \frac{a}{5}$.

в) Для чисел $\frac{m}{n}$ и $\frac{k}{n}$, которые представляют собой дроби в общем виде (где m, k, n — некоторые числа, и $n \ne 0$), переместительный закон сложения записывается следующим образом.
Запишем закон: $\frac{m}{n} + \frac{k}{n} = \frac{k}{n} + \frac{m}{n}$.
Это равенство верно, так как при сложении дробей с одинаковым знаменателем мы складываем их числители, а для числителей m и k действует переместительный закон сложения:
$\frac{m+k}{n} = \frac{k+m}{n}$.
Ответ: $\frac{m}{n} + \frac{k}{n} = \frac{k}{n} + \frac{m}{n}$.