Страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.155. Оператор набрал третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате он набрал половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

Обозначим общее количество страниц в рукописи за $x$.

Согласно условию, оператор сначала набрал третью часть рукописи, что составляет $\frac{1}{3}x$ страниц.

Затем он набрал ещё 10 страниц. Таким образом, общее количество набранных страниц стало равно $\frac{1}{3}x + 10$.

В результате этого он набрал половину всей рукописи, то есть $\frac{1}{2}x$ страниц.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв количество набранных страниц к половине рукописи:

$\frac{1}{3}x + 10 = \frac{1}{2}x$

Для решения уравнения перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:

$10 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю 6:

$10 = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}x$

$10 = \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x$

$10 = \frac{3-2}{6}x$

$10 = \frac{1}{6}x$

Теперь найдём $x$, умножив обе части уравнения на 6:

$x = 10 \cdot 6$

$x = 60$

Таким образом, общее количество страниц в рукописи составляет 60.

Ответ: в рукописи 60 страниц.

4.156. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идёшь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ещё пройдёшь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему?

Для решения задачи обозначим всё расстояние между деревнями через $S$.

Пусть расстояние, которое уже прошёл первый прохожий от начальной деревни, равно $x$.

Согласно условию, расстояние, которое он прошёл, составляет треть всего пути. Это можно записать в виде уравнения:

$x = \frac{1}{3}S$

Также в условии сказано, что если он пройдёт ещё 2 версты, то окажется ровно посередине между деревнями. Середина пути — это половина всего расстояния, то есть $\frac{1}{2}S$. Составим второе уравнение:

$x + 2 = \frac{1}{2}S$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим значение $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{3}S + 2 = \frac{1}{2}S$

Решим это уравнение, чтобы найти общее расстояние $S$. Перенесём все слагаемые с $S$ в правую часть уравнения:

$2 = \frac{1}{2}S - \frac{1}{3}S$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю, который равен 6:

$2 = \frac{3 \times 1}{3 \times 2}S - \frac{2 \times 1}{2 \times 3}S$

$2 = \frac{3}{6}S - \frac{2}{6}S$

$2 = \frac{1}{6}S$

Отсюда находим полное расстояние между деревнями:

$S = 2 \times 6 = 12$ вёрст.

Теперь, зная полное расстояние, мы можем найти, какую дистанцию уже преодолел прохожий:

$x = \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} \times 12 = 4$ версты.

Вопрос задачи — сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему. Для этого нужно из всего расстояния вычесть пройденное расстояние:

Оставшееся расстояние $= S - x = 12 - 4 = 8$ вёрст.

Ответ: Первому прохожему осталось ещё идти 8 вёрст.

4.157. Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась $\frac{1}{4}$ этой суммы, на долю второго — $\frac{1}{7}$, а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Обозначим всю сумму выигрыша через $x$.

Согласно условию задачи, доля первого победителя составляет $\frac{1}{4}$ от всей суммы, то есть $\frac{1}{4}x$. Доля второго победителя — $\frac{1}{7}$ от всей суммы, то есть $\frac{1}{7}x$. Доля третьего победителя известна и равна 17 флоринам.

Сумма долей всех троих победителей должна быть равна всей сумме выигрыша. Можно составить уравнение:
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 = x$

Чтобы решить задачу, найдем, какую часть от всего выигрыша получили первые два победителя вместе. Для этого сложим их доли:
$\frac{1}{4} + \frac{1}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 28:
$\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}$
Итак, первые два победителя вместе получили $\frac{11}{28}$ от всего выигрыша.

Следовательно, на долю третьего победителя приходится оставшаяся часть. Весь выигрыш принимаем за 1 (или $\frac{28}{28}$). Тогда доля третьего составляет:
$1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28}$

Из условия мы знаем, что эта доля равна 17 флоринам. Таким образом, $\frac{17}{28}$ от всей суммы выигрыша ($x$) — это 17 флоринов. Можем найти $x$:
$\frac{17}{28}x = 17$
Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь:
$x = 17 \div \frac{17}{28} = 17 \cdot \frac{28}{17} = 28$

Значит, вся сумма выигрыша составляет 28 флоринов.

Ответ: 28 флоринов.