Страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.151. a) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьёв улетела, их осталось 6 (рис. 171). Сколько воробьёв было на ветке?

б) Некто израсходовал $\frac{3}{4}$ своих денег, и у него осталось 2000 р. Сколько денег у него было?

в) В первый день туристы прошли $\frac{2}{5}$ намеченного маршрута, а во второй день — оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на $\frac{1}{4}$. Сколько марок было в коллекции год назад?

улетели ($ \frac{1}{3} $)
остались — 6
?
Рис. 171

а) Пусть $x$ — это общее количество воробьёв, которое было на ветке изначально. Когда третья часть, то есть $\frac{1}{3}x$, улетела, на ветке осталась часть, равная $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от первоначального числа воробьёв.
По условию, эта оставшаяся часть составляет 6 воробьёв. Составим уравнение:
$\frac{2}{3}x = 6$
Чтобы найти целое число ($x$) по его части, нужно эту часть (6) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{2}{3}$):
$x = 6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Таким образом, изначально на ветке было 9 воробьёв.
Ответ: 9 воробьёв.

б) Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег. Некто израсходовал $\frac{3}{4}$ своих денег, значит, у него осталась часть, равная:
$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Эта оставшаяся $\frac{1}{4}$ часть денег составляет 2000 рублей. Чтобы найти всю сумму, нужно известную часть (2000) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{1}{4}$):
$x = 2000 \div \frac{1}{4} = 2000 \times 4 = 8000$
Изначально у него было 8000 рублей.
Ответ: 8000 р.

в) Пусть $L$ — это общая длина намеченного маршрута. В первый день туристы прошли $\frac{2}{5}$ маршрута. Значит, на второй день им осталось пройти:
$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
Эта оставшаяся часть маршрута составляет 15 км. Чтобы найти общую длину маршрута, нужно расстояние, пройденное во второй день (15 км), разделить на соответствующую ему долю ($\frac{3}{5}$):
$L = 15 \div \frac{3}{5} = 15 \times \frac{5}{3} = \frac{75}{3} = 25$
Общая длина маршрута составляет 25 км.
Ответ: 25 км.

г) Пусть $m$ — количество марок в коллекции год назад. За год число марок увеличилось на $\frac{1}{4}$ от этого количества. Таким образом, текущее количество марок составляет $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ от прошлогоднего.
Сейчас в коллекции 200 марок, что составляет $\frac{5}{4}$ от числа марок год назад. Составим уравнение:
$\frac{5}{4}m = 200$
Чтобы найти, сколько марок было год назад ($m$), нужно текущее количество (200) разделить на дробь, которую оно составляет ($\frac{5}{4}$):
$m = 200 \div \frac{5}{4} = 200 \times \frac{4}{5} = \frac{800}{5} = 160$
Год назад в коллекции было 160 марок.
Ответ: 160 марок.

4.152. a) За куски ленты длиной $\frac{1}{4}$ м и $\frac{1}{5}$ м заплатили 180 р. Сколько стоит 1 м ленты?

б) За $\frac{1}{2}$ м тесьмы заплатили на 90 р. больше, чем за $\frac{1}{5}$ м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?

а)

1. Сначала найдем общую длину купленной ленты. Для этого сложим длины двух кусков:

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 20:

$$ \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20} \text{ м} $$

2. Теперь мы знаем, что $ \frac{9}{20} $ метра ленты стоят 180 рублей. Чтобы найти стоимость одного метра ленты, нужно общую стоимость разделить на общую длину:

$$ 180 : \frac{9}{20} = 180 \cdot \frac{20}{9} = \frac{180 \cdot 20}{9} $$

Сокращаем 180 и 9 (180 : 9 = 20):

$$ \frac{20 \cdot 20}{1} = 400 \text{ р.} $$

Ответ: 1 м ленты стоит 400 р.

б)

1. Узнаем, на сколько метров один кусок тесьмы длиннее другого. Для этого вычтем из большей длины меньшую:

$$ \frac{1}{2} - \frac{1}{5} $$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 10:

$$ \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10} \text{ м} $$

2. По условию задачи, эта разница в длине, равная $ \frac{3}{10} $ м, стоит 90 рублей. Чтобы найти стоимость одного метра тесьмы, нужно стоимость этого "разностного" куска разделить на его длину:

$$ 90 : \frac{3}{10} = 90 \cdot \frac{10}{3} = \frac{90 \cdot 10}{3} $$

Сокращаем 90 и 3 (90 : 3 = 30):

$$ \frac{30 \cdot 10}{1} = 300 \text{ р.} $$

Ответ: 1 м тесьмы стоит 300 р.

4.153. До обеда токарь выполнил $\frac{2}{8}$ задания, после обеда — $\frac{3}{8}$ задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, какую часть задания токарь выполнил в общей сложности.

Для этого сложим часть работы, выполненную до обеда, и часть, выполненную после обеда.

$\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}$

Таким образом, за день токарь выполнил $\frac{5}{8}$ всего задания.

2. Определим, какая часть задания осталась невыполненной.

Все задание принимается за 1 (или $\frac{8}{8}$). Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть выполненную часть.

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Значит, токарь не выполнил $\frac{3}{8}$ задания.

3. Рассчитаем общее количество деталей в задании.

Из условия мы знаем, что оставшаяся часть работы, то есть $\frac{3}{8}$ задания, составляет 24 детали. Чтобы найти общее количество деталей (целое) по его части, нужно число, соответствующее этой части (24), разделить на саму дробь ($\frac{3}{8}$).

$24 : \frac{3}{8} = 24 \cdot \frac{8}{3} = \frac{24 \cdot 8}{3}$

Сократим 24 и 3:

$\frac{8 \cdot 8}{1} = 64$

Следовательно, всего токарь должен был обточить 64 детали.

Ответ: 64 детали.

4.154. а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали $ \frac{2}{3} $ поля. Первый тракторист вспахал $ \frac{1}{2} $ поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?

б) Две машины, движущиеся навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на $ \frac{1}{3} $ расстояния между двумя городами. Первая машина проехала $ \frac{1}{8} $ этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?

в) Через две трубы за каждый час наполняется $ \frac{1}{3} $ бассейна. Через первую трубу за час наполняется $ \frac{1}{10} $ бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?

а) Чтобы найти, какую часть поля вспахал второй тракторист, необходимо из общей вспаханной части поля ($ \frac{2}{3} $) вычесть ту часть, которую вспахал первый тракторист ($ \frac{1}{2} $).
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} $
Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.
$ \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} $
Таким образом, второй тракторист вспахал $ \frac{1}{6} $ поля.
Ответ: $ \frac{1}{6} $.

б) Две машины, двигаясь навстречу друг другу, за 1 час сблизились на $ \frac{1}{3} $ всего расстояния. Это расстояние является суммой путей, пройденных каждой машиной. Первая машина проехала $ \frac{1}{8} $ всего расстояния. Чтобы найти, какую часть расстояния проехала вторая машина, нужно из их общего сближения вычесть расстояние, которое проехала первая машина.
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{8} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 8 — это 24.
$ \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} - \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{8}{24} - \frac{3}{24} = \frac{8-3}{24} = \frac{5}{24} $
Следовательно, вторая машина проехала $ \frac{5}{24} $ всего расстояния.
Ответ: $ \frac{5}{24} $.

в) Через две трубы вместе за час наполняется $ \frac{1}{3} $ бассейна. Это их совместная производительность. Через первую трубу за час наполняется $ \frac{1}{10} $ бассейна. Чтобы найти, какая часть бассейна наполняется за 1 час через вторую трубу, нужно из совместной производительности вычесть производительность первой трубы.
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{10} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 10 — это 30.
$ \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{10}{30} - \frac{3}{30} = \frac{10-3}{30} = \frac{7}{30} $
Значит, за 1 час через вторую трубу наполняется $ \frac{7}{30} $ бассейна.
Ответ: $ \frac{7}{30} $.