Страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.117. Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения.

переместительный закон сложения

Словесная формулировка (правило): от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Запись в виде формулы для любых чисел $a$ и $b$:
$a + b = b + a$
Ответ: От перемены мест слагаемых сумма не меняется; $a + b = b + a$.

сочетательный закон сложения

Словесная формулировка (правило): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Запись в виде формулы для любых чисел $a$, $b$ и $c$:
$(a + b) + c = a + (b + c)$
Ответ: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел; $(a + b) + c = a + (b + c)$.

4.118. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения?

Переместительный закон сложения

Да, для дробей выполняется переместительный (коммутативный) закон сложения. Этот закон утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В общем виде он записывается так: $a + b = b + a$.

Чтобы доказать это для дробей, возьмём две произвольные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

1. Найдём их сумму, приведя к общему знаменателю $bd$:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + bc}{bd}$.

2. Теперь поменяем дроби местами и найдём сумму снова:
$\frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b} + \frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{cb + ad}{bd}$.

Поскольку для целых чисел, из которых состоят числители и знаменатели, сложение ($ad + bc = cb + ad$) и умножение ($bd = db$) обладают свойством переместительности, то и результаты сложения дробей одинаковы. Следовательно, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.

Например: $\frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} = \frac{19}{20}$, и в то же время $\frac{3}{4} + \frac{1}{5} = \frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{19}{20}$.

Ответ: Да, переместительный закон сложения для дробей выполняется.

Сочетательный закон сложения

Да, для дробей также выполняется сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Этот закон утверждает, что результат сложения трёх и более чисел не зависит от порядка группировки слагаемых. В общем виде он записывается так: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Чтобы доказать это, возьмём три произвольные дроби $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ и $\frac{e}{f}$.

1. Сгруппируем первые два слагаемых:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = (\frac{ad + bc}{bd}) + \frac{e}{f} = \frac{(ad + bc)f + (bd)e}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$.

2. Теперь сгруппируем последние два слагаемых:
$\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} + (\frac{cf + de}{df}) = \frac{a(df) + b(cf + de)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$.

Результаты идентичны, так как операции сложения и умножения целых чисел в числителе подчиняются сочетательному и распределительному законам. Следовательно, $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.

Например: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{4} = \frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$, и в то же время $\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} = \frac{6}{12} + \frac{7}{12} = \frac{13}{12}$.

Ответ: Да, сочетательный закон сложения для дробей выполняется.

4.119. Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые, заключать слагаемые в скобки?

Да, в сумме чисел можно и менять местами слагаемые, и заключать их в скобки. Это возможно благодаря двум основным свойствам сложения: переместительному и сочетательному.

Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые?

Да, можно. Это действие основано на переместительном (или коммутативном) свойстве сложения. Оно гласит, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Математическая формула этого свойства выглядит так:
$a + b = b + a$

Рассмотрим на примере:
$8 + 15 = 23$
Если поменять слагаемые местами, получим:
$15 + 8 = 23$
Результат остался прежним. Это свойство позволяет переставлять числа так, чтобы их было удобнее складывать.

Ответ: да, в сумме чисел можно менять местами слагаемые.

Можно ли заключать слагаемые в скобки?

Да, можно. Эта возможность следует из сочетательного (или ассоциативного) свойства сложения. Оно означает, что при сложении трёх и более чисел их можно группировать (заключать в скобки) в любом порядке. Результат от этого не изменится.

Математическая формула этого свойства:
$(a + b) + c = a + (b + c)$

Рассмотрим на примере:
$(7 + 5) + 10 = 12 + 10 = 22$
Если сгруппировать слагаемые по-другому, получим:
$7 + (5 + 10) = 7 + 15 = 22$
Сумма не изменилась. Использование скобок помогает выбирать наиболее удобный порядок вычислений, например, сначала складывать числа, которые в сумме дают круглое число.

Ответ: да, в сумме чисел можно заключать слагаемые в скобки.

4.120. На рисунке 170 изображён отрезок AB, разделённый на четы-ре равные части. AB = 12 см.

а) Найдите длины отрезков AC и CB.

б) С помощью рисунка покажите, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.

Рис. 170

а)

По условию, длина отрезка $AB$ составляет $12$ см, и он разделён на четыре равные части. Чтобы найти длину одной такой части, нужно общую длину отрезка разделить на количество частей:

$12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$

Отрезок $AC$ состоит из одной части. Следовательно, его длина равна $3$ см.

$AC = 3 \text{ см}$

Отрезок $CB$ состоит из оставшихся трёх равных частей. Его длину можно найти, умножив длину одной части на три:

$CB = 3 \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Также, длину отрезка $CB$ можно вычислить как разность длин отрезков $AB$ и $AC$:

$CB = AB - AC = 12 \text{ см} - 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: $AC = 3$ см, $CB = 9$ см.

б)

Примем длину всего отрезка $AB$ за единицу (целое).

Так как отрезок $AB$ разделён на 4 равные части, то отрезок $AC$, состоящий из одной части, составляет $\frac{1}{4}$ от всего отрезка $AB$.

Отрезок $CB$ состоит из трёх таких частей, значит, он составляет $\frac{3}{4}$ от всего отрезка $AB$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ равна длине всего отрезка $AB$. В долях это можно записать так:

$AC + CB = AB \implies \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Сложение отрезков подчиняется переместительному закону (от перестановки слагаемых сумма не изменяется). Если мы сложим отрезки в обратном порядке, $CB$ и $AC$, мы всё равно получим отрезок $AB$:

$CB + AC = AB \implies \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Поскольку обе суммы ($AC + CB$ и $CB + AC$) равны одному и тому же целому отрезку $AB$, то они равны между собой. Таким образом, с помощью рисунка мы показываем справедливость равенства:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

Ответ: Равенство наглядно демонстрирует переместительный закон сложения: сумма частей ($AC$ и $CB$) равна целому ($AB$) независимо от порядка, в котором эти части складываются.