Номер 4.118, страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.118. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения?

Переместительный закон сложения

Да, для дробей выполняется переместительный (коммутативный) закон сложения. Этот закон утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В общем виде он записывается так: $a + b = b + a$.

Чтобы доказать это для дробей, возьмём две произвольные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

1. Найдём их сумму, приведя к общему знаменателю $bd$:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + bc}{bd}$.

2. Теперь поменяем дроби местами и найдём сумму снова:
$\frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b} + \frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{cb + ad}{bd}$.

Поскольку для целых чисел, из которых состоят числители и знаменатели, сложение ($ad + bc = cb + ad$) и умножение ($bd = db$) обладают свойством переместительности, то и результаты сложения дробей одинаковы. Следовательно, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.

Например: $\frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} = \frac{19}{20}$, и в то же время $\frac{3}{4} + \frac{1}{5} = \frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{19}{20}$.

Ответ: Да, переместительный закон сложения для дробей выполняется.

Сочетательный закон сложения

Да, для дробей также выполняется сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Этот закон утверждает, что результат сложения трёх и более чисел не зависит от порядка группировки слагаемых. В общем виде он записывается так: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Чтобы доказать это, возьмём три произвольные дроби $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ и $\frac{e}{f}$.

1. Сгруппируем первые два слагаемых:
$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = (\frac{ad + bc}{bd}) + \frac{e}{f} = \frac{(ad + bc)f + (bd)e}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$.

2. Теперь сгруппируем последние два слагаемых:
$\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} + (\frac{cf + de}{df}) = \frac{a(df) + b(cf + de)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$.

Результаты идентичны, так как операции сложения и умножения целых чисел в числителе подчиняются сочетательному и распределительному законам. Следовательно, $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.

Например: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{4} = \frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$, и в то же время $\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} = \frac{6}{12} + \frac{7}{12} = \frac{13}{12}$.

Ответ: Да, сочетательный закон сложения для дробей выполняется.