Номер 4.120, страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.120. На рисунке 170 изображён отрезок AB, разделённый на четы-ре равные части. AB = 12 см.

а) Найдите длины отрезков AC и CB.

б) С помощью рисунка покажите, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.

Рис. 170

а)

По условию, длина отрезка $AB$ составляет $12$ см, и он разделён на четыре равные части. Чтобы найти длину одной такой части, нужно общую длину отрезка разделить на количество частей:

$12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$

Отрезок $AC$ состоит из одной части. Следовательно, его длина равна $3$ см.

$AC = 3 \text{ см}$

Отрезок $CB$ состоит из оставшихся трёх равных частей. Его длину можно найти, умножив длину одной части на три:

$CB = 3 \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Также, длину отрезка $CB$ можно вычислить как разность длин отрезков $AB$ и $AC$:

$CB = AB - AC = 12 \text{ см} - 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: $AC = 3$ см, $CB = 9$ см.

б)

Примем длину всего отрезка $AB$ за единицу (целое).

Так как отрезок $AB$ разделён на 4 равные части, то отрезок $AC$, состоящий из одной части, составляет $\frac{1}{4}$ от всего отрезка $AB$.

Отрезок $CB$ состоит из трёх таких частей, значит, он составляет $\frac{3}{4}$ от всего отрезка $AB$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ равна длине всего отрезка $AB$. В долях это можно записать так:

$AC + CB = AB \implies \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Сложение отрезков подчиняется переместительному закону (от перестановки слагаемых сумма не изменяется). Если мы сложим отрезки в обратном порядке, $CB$ и $AC$, мы всё равно получим отрезок $AB$:

$CB + AC = AB \implies \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Поскольку обе суммы ($AC + CB$ и $CB + AC$) равны одному и тому же целому отрезку $AB$, то они равны между собой. Таким образом, с помощью рисунка мы показываем справедливость равенства:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

Ответ: Равенство наглядно демонстрирует переместительный закон сложения: сумма частей ($AC$ и $CB$) равна целому ($AB$) независимо от порядка, в котором эти части складываются.