Страница 192 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.113. Девочка прочитала $\frac{2}{5}$ книги, потом ещё $\frac{1}{5}$. Какую часть книги она прочитала?

Чтобы найти, какую общую часть книги прочитала девочка, необходимо сложить части, прочитанные ею в первый и во второй раз.

Первая часть составляет $\frac{2}{5}$ книги, а вторая — $\frac{1}{5}$ книги.

Для сложения дробей с одинаковым знаменателем нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:

$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$

Таким образом, всего девочка прочитала $\frac{3}{5}$ книги.

Ответ: $\frac{3}{5}$

4.114. a) За завтраком съели $ \frac{3}{8} $ торта, за обедом съели $ \frac{5}{8} $ торта.

Весь ли торт съели?

б) За первый день оператор набрал $ \frac{7}{16} $ рукописи, а за второй день $ \frac{1}{2} $ рукописи. Была ли набрана за два дня рукопись целиком?

а) Чтобы определить, весь ли торт съели, нужно сложить части, которые съели за завтраком и за обедом. Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем их числители:

$ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} $

Дробь $ \frac{8}{8} $ равна 1, что представляет собой целый торт. Следовательно, за завтраком и обедом съели весь торт.

Ответ: да, съели весь торт.

б) Чтобы выяснить, была ли рукопись набрана целиком, нужно сложить части, выполненные оператором за два дня. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{1}{2} $ это 16. Приведем дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 16:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} $

Теперь сложим части рукописи, набранные за оба дня:

$ \frac{7}{16} + \frac{8}{16} = \frac{7+8}{16} = \frac{15}{16} $

Вся рукопись – это 1, или $ \frac{16}{16} $. Сравним полученную сумму с единицей:

$ \frac{15}{16} < \frac{16}{16} $

Так как полученная часть меньше целого, рукопись за два дня не была набрана целиком.

Ответ: нет, рукопись не была набрана целиком.

4.115. Первый тракторист вспахал $\frac{2}{7}$ поля, второй — $\frac{3}{7}$ поля. Вместе они вспахали 10 га. Какова площадь всего поля?

1. Сначала определим, какую часть поля вспахали оба тракториста вместе. для этого необходимо сложить доли каждого тракториста:

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

Таким образом, вместе они вспахали $\frac{5}{7}$ всего поля.

2. Из условия задачи известно, что вспаханная ими часть поля равна 10 гектарам (га). Это значит, что $\frac{5}{7}$ всего поля составляют 10 га. Чтобы найти площадь всего поля, можно сначала найти, какая площадь приходится на одну седьмую часть ($\frac{1}{7}$) поля. для этого разделим известную площадь на количество частей, которым она соответствует:

$10 \text{ га} \div 5 = 2 \text{ га}$

Следовательно, $\frac{1}{7}$ поля составляет 2 га.

3. Всё поле представляет собой целое, то есть $\frac{7}{7}$. Чтобы найти общую площадь поля, нужно площадь одной части умножить на общее количество частей (то есть на 7):

$2 \text{ га} \cdot 7 = 14 \text{ га}$

Ответ: 14 га.

4.116. а) За каждый час первая труба наполняет $\frac{1}{2}$ бассейна, а вторая $\frac{1}{3}$ бассейна. На какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

б) Первая бригада может выполнить за день $\frac{1}{12}$ задания, а вторая $\frac{1}{8}$ задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы?

в) Легковая машина в час проезжает $\frac{1}{10}$ расстояния между городами, а грузовая $\frac{1}{12}$ этого расстояния. На какую часть этого расстояния в час будут сближаться машины при движении навстречу друг другу?

а) Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 час совместной работы, необходимо сложить части, которые наполняет каждая труба за это время. Производительность первой трубы — $\frac{1}{2}$ бассейна в час. Производительность второй трубы — $\frac{1}{3}$ бассейна в час. Их совместная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$ Таким образом, за 1 час совместной работы обе трубы наполнят $\frac{5}{6}$ бассейна.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Чтобы узнать, какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы, нужно сложить их дневные производительности. Производительность первой бригады — $\frac{1}{12}$ задания в день. Производительность второй бригады — $\frac{1}{8}$ задания в день. Суммарная производительность двух бригад: $\frac{1}{12} + \frac{1}{8}$ Найдем общий знаменатель для 12 и 8, он равен 24: $\frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{2+3}{24} = \frac{5}{24}$ За 1 день совместной работы бригады выполнят $\frac{5}{24}$ задания.
Ответ: $\frac{5}{24}$.

в) При движении навстречу друг другу скорость сближения равна сумме скоростей. В данном случае скорости выражены как часть расстояния в час. Скорость легковой машины — $\frac{1}{10}$ расстояния в час. Скорость грузовой машины — $\frac{1}{12}$ расстояния в час. Чтобы найти, на какую часть расстояния они сблизятся за час, сложим их скорости: $\frac{1}{10} + \frac{1}{12}$ Общий знаменатель для 10 и 12 равен 60: $\frac{1 \cdot 6}{10 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} = \frac{6+5}{60} = \frac{11}{60}$ За 1 час машины сблизятся на $\frac{11}{60}$ всего расстояния между городами.
Ответ: $\frac{11}{60}$.