Страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.134 Что называют разностью двух дробей? Как проверить результат вычитания двух дробей?

Что называют разностью двух дробей?

Разностью двух дробей называют такую дробь, которая при сложении с вычитаемым (второй дробью) дает в результате уменьшаемое (первую дробь).
Если обозначить уменьшаемое как дробь $\frac{a}{b}$, вычитаемое как $\frac{c}{d}$, а их разность как $\frac{x}{y}$, то определение можно записать в виде равенства:
$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{x}{y}$ тогда и только тогда, когда $\frac{x}{y} + \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$.
Ответ: Разностью двух дробей называют такую дробь, которая в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.

Как проверить результат вычитания двух дробей?

Проверить результат вычитания можно, выполнив обратное действие. Существует два способа проверки:

1. Проверка сложением (наиболее распространенный способ).
Нужно к полученной разности прибавить вычитаемое. Если результат будет равен уменьшаемому, значит, вычитание было выполнено правильно.
Формула: Разность + Вычитаемое = Уменьшаемое.
Например, мы вычислили, что $\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$.
Проверка: $\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5+2}{9} = \frac{7}{9}$. Результат $\frac{7}{9}$ совпал с уменьшаемым, значит, решение верное.

2. Проверка вычитанием.
Нужно из уменьшаемого вычесть полученную разность. Если в результате получится вычитаемое, то вычитание выполнено верно.
Формула: Уменьшаемое - Разность = Вычитаемое.
Используя тот же пример, $\frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7-5}{9} = \frac{2}{9}$. Результат $\frac{2}{9}$ совпал с вычитаемым, значит, решение верное.
Ответ: Чтобы проверить результат вычитания, нужно к разности прибавить вычитаемое (в итоге должно получиться уменьшаемое) или из уменьшаемого вычесть разность (в итоге должно получиться вычитаемое).

4.135 a) Как вычитают дроби с общим знаменателем?

б) Как вычитают дроби с разными знаменателями?

а) Чтобы вычесть дроби с общим знаменателем, нужно из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений. Результат, если возможно, следует сократить.

Это правило можно записать в виде формулы:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Например:

$\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9}$

Ответ: Для вычитания дробей с общим знаменателем нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

б) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему знаменателю, а затем выполнить вычитание по правилу для дробей с общим знаменателем.

Порядок действий:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.
2. Определить для каждой дроби дополнительный множитель, разделив НОЗ на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Выполнить вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

В общем виде это правило можно записать так:

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Например:

$\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$

1. Находим НОК для знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.

2. Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 6 = 2$.

3. Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 4 = 3$.

4. Умножаем числители и знаменатели на соответствующие множители и выполняем вычитание:

$\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{10-9}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: Для вычитания дробей с разными знаменателями их нужно сперва привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, оставив общий знаменатель без изменений.

4.136. Как записывают число 0 в виде дроби?

Чтобы записать число 0 в виде дроби, необходимо составить дробь, у которой числитель равен 0, а знаменатель — любое число, не равное нулю.

Правило основано на свойстве деления: если 0 разделить на любое число (кроме самого нуля), в результате всегда получится 0. Дробная черта в математике обозначает именно операцию деления.

В общем виде это можно записать с помощью формулы:
$ \frac{0}{a} = 0 $, при условии, что $ a \neq 0 $.

В качестве знаменателя a может выступать любое число: целое, дробное, положительное или отрицательное, но оно не должно быть равно нулю.

Например, все следующие дроби равны нулю:
$ \frac{0}{1} $, $ \frac{0}{3} $, $ \frac{0}{10} $, $ \frac{0}{-5} $, $ \frac{0}{278} $.

Важно помнить, что знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль в математике не определена. Выражение вида $ \frac{a}{0} $ не имеет смысла.

Ответ: Число 0 записывают в виде дроби, у которой числитель равен 0, а знаменатель — любое число, не равное нулю (например, $ \frac{0}{5} $).

4.137. Чему равна разность равных дробей?

Разность двух любых равных чисел всегда равна нулю. Это правило справедливо и для дробей, так как дроби являются числами.

Пусть у нас есть две равные дроби. Обозначим одну из них как $ \frac{a}{b} $. Так как вторая дробь равна первой, она также может быть представлена как $ \frac{a}{b} $.

Найдем их разность:

$ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} $

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы вычитаем их числители:

$ \frac{a - a}{b} = \frac{0}{b} = 0 $ (при условии, что знаменатель $ b \neq 0 $).

Рассмотрим конкретный пример. Возьмем две равные дроби: $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{6} $. Мы знаем, что $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $.

Найдем их разность:

$ \frac{1}{2} - \frac{3}{6} $

Приведем дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 6:

$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $

Теперь вычтем дроби:

$ \frac{3}{6} - \frac{3}{6} = \frac{3-6}{6} = \frac{0}{6} = 0 $

Таким образом, разность равных дробей всегда равна нулю.

Ответ: 0

Выполните вычитание (4.138–4.139):

4.138 а) $ \frac{3}{5} - \frac{1}{5} $;

б) $ \frac{7}{20} - \frac{3}{20} $;

в) $ \frac{12}{16} - \frac{3}{16} $;

г) $ \frac{16}{27} - \frac{8}{27} $.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

б) В данном примере знаменатели дробей также одинаковы. Выполняем вычитание числителей и записываем результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{7}{20} - \frac{3}{20} = \frac{7-3}{20} = \frac{4}{20}$

Полученную дробь $\frac{4}{20}$ можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 4.

$\frac{4}{20} = \frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Выполняем вычитание по тому же правилу, что и в предыдущих примерах, так как знаменатели дробей равны.

$\frac{12}{16} - \frac{3}{16} = \frac{12-3}{16} = \frac{9}{16}$

Дробь $\frac{9}{16}$ является несократимой, так как числитель 9 и знаменатель 16 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{9}{16}$.

г) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.

$\frac{16}{27} - \frac{8}{27} = \frac{16-8}{27} = \frac{8}{27}$

Полученная дробь $\frac{8}{27}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

4.139. а) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{5}{9} - \frac{1}{3}; $

в) $ \frac{7}{10} - \frac{3}{5}; $

г) $ \frac{16}{27} - \frac{1}{9}; $

д) $ \frac{3}{5} - \frac{13}{45}; $

е) $ \frac{1}{3} - \frac{8}{27}; $

ж) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3}; $

з) $ \frac{3}{5} - \frac{1}{3}; $

и) $ \frac{7}{8} - \frac{2}{3}; $

к) $ \frac{3}{4} - \frac{4}{7}; $

л) $ \frac{9}{16} - \frac{11}{24}; $

м) $ \frac{11}{12} - \frac{11}{18}. $

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$ — это 4. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — 1.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Приведем дроби к общему знаменателю 9.
$\frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5-3}{9} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

в) Приведем дроби к общему знаменателю 10.
$\frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{7}{10} - \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10} - \frac{6}{10} = \frac{7-6}{10} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

г) Приведем дроби к общему знаменателю 27.
$\frac{16}{27} - \frac{1}{9} = \frac{16}{27} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{16}{27} - \frac{3}{27} = \frac{16-3}{27} = \frac{13}{27}$.
Ответ: $\frac{13}{27}$.

д) Приведем дроби к общему знаменателю 45.
$\frac{3}{5} - \frac{13}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} - \frac{13}{45} = \frac{27}{45} - \frac{13}{45} = \frac{27-13}{45} = \frac{14}{45}$.
Ответ: $\frac{14}{45}$.

е) Приведем дроби к общему знаменателю 27.
$\frac{1}{3} - \frac{8}{27} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{8}{27} = \frac{9}{27} - \frac{8}{27} = \frac{9-8}{27} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.

ж) Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

з) Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 — это 15.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} - \frac{5}{15} = \frac{9-5}{15} = \frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{4}{15}$.

и) Наименьший общий знаменатель для 8 и 3 — это 24.
$\frac{7}{8} - \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{21}{24} - \frac{16}{24} = \frac{21-16}{24} = \frac{5}{24}$.
Ответ: $\frac{5}{24}$.

к) Наименьший общий знаменатель для 4 и 7 — это 28.
$\frac{3}{4} - \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{21}{28} - \frac{16}{28} = \frac{21-16}{28} = \frac{5}{28}$.
Ответ: $\frac{5}{28}$.

л) Найдем наименьший общий знаменатель для 16 и 24. $16 = 2^4$, $24 = 2^3 \cdot 3$. НОК(16, 24) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
$\frac{9}{16} - \frac{11}{24} = \frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{27}{48} - \frac{22}{48} = \frac{27-22}{48} = \frac{5}{48}$.
Ответ: $\frac{5}{48}$.

м) Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
$\frac{11}{12} - \frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{33}{36} - \frac{22}{36} = \frac{33-22}{36} = \frac{11}{36}$.
Ответ: $\frac{11}{36}$.

4.140. Выполните вычитание и проверьте сложением:

а) $ \frac{5}{12} - \frac{1}{3}; $

б) $ \frac{1}{5} - \frac{3}{20}; $

в) $ \frac{7}{8} - \frac{5}{12}; $

г) $ \frac{9}{10} - \frac{1}{6}. $

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{3}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 12 и 3 равен 12.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$ равен $12 \div 3 = 4$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5-4}{12} = \frac{1}{12}$

Проверка сложением:

Сложим полученную разность с вычитаемым:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1+4}{12} = \frac{5}{12}$

Результат совпадает с уменьшаемым, значит, вычитание выполнено верно.

Ответ: $\frac{1}{12}$

б)

Приведем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{20}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 20 равен 20.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{5}$ равен $20 \div 5 = 4$.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$

Выполним вычитание:

$\frac{1}{5} - \frac{3}{20} = \frac{4}{20} - \frac{3}{20} = \frac{4-3}{20} = \frac{1}{20}$

Проверка сложением:

$\frac{1}{20} + \frac{3}{20} = \frac{1+3}{20} = \frac{4}{20}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Результат совпадает с уменьшаемым.

Ответ: $\frac{1}{20}$

в)

Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 12 равно 24.

Приведем дроби к знаменателю 24. Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$. Для второй: $24 \div 12 = 2$.

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$

Выполним вычитание:

$\frac{7}{8} - \frac{5}{12} = \frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{21-10}{24} = \frac{11}{24}$

Проверка сложением:

$\frac{11}{24} + \frac{5}{12} = \frac{11}{24} + \frac{10}{24} = \frac{11+10}{24} = \frac{21}{24}$

Сократим дробь на 3: $\frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

Результат совпадает с уменьшаемым.

Ответ: $\frac{11}{24}$

г)

Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 6. НОК(10, 6) = 30.

Приведем дроби к знаменателю 30. Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 10 = 3$. Для второй: $30 \div 6 = 5$.

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

Выполним вычитание:

$\frac{9}{10} - \frac{1}{6} = \frac{27}{30} - \frac{5}{30} = \frac{27-5}{30} = \frac{22}{30}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

Проверка сложением:

$\frac{11}{15} + \frac{1}{6}$

Общий знаменатель для 15 и 6 — это 30.

$\frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{22}{30} + \frac{5}{30} = \frac{22+5}{30} = \frac{27}{30}$

Сократим дробь на 3: $\frac{27}{30} = \frac{9}{10}$.

Результат совпадает с уменьшаемым.

Ответ: $\frac{11}{15}$

Вычислите (4.141–4.142):

4.141. а) $1 - \frac{1}{2}$; б) $1 - \frac{1}{3}$; в) $1 - \frac{2}{3}$; г) $1 - \frac{1}{4}$.

а) Чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно представить это число в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. Представим 1 как дробь со знаменателем 2.

$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 3, чтобы выполнить вычитание.

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 3.

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4.

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

4.142. а) $1 - \frac{3}{4};$

б) $1 - \frac{1}{5};$

в) $1 - \frac{2}{5};$

г) $1 - \frac{4}{5};$

д) $1 - \frac{7}{10};$

е) $1 - \frac{5}{13};$

ж) $1 - \frac{11}{25};$

з) $1 - \frac{25}{25}.$

а) Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно представить единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби. В данном случае, знаменатель равен 4, поэтому представляем 1 как $\frac{4}{4}$.

$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 5.

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{5-1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 5.

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 5.

$1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5-4}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

д) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 10.

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{10-7}{10} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

е) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 13.

$1 - \frac{5}{13} = \frac{13}{13} - \frac{5}{13} = \frac{13-5}{13} = \frac{8}{13}$

Ответ: $\frac{8}{13}$

ж) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 25.

$1 - \frac{11}{25} = \frac{25}{25} - \frac{11}{25} = \frac{25-11}{25} = \frac{14}{25}$

Ответ: $\frac{14}{25}$

з) Дробь $\frac{25}{25}$ равна единице. Поэтому мы вычитаем единицу из единицы.

$1 - \frac{25}{25} = 1 - 1 = 0$

Или, представив 1 как $\frac{25}{25}$:

$\frac{25}{25} - \frac{25}{25} = \frac{25-25}{25} = \frac{0}{25} = 0$

Ответ: $0$